Se
e
, é possível concluir que:
i)
ii)
iii)
iv)
i)
ii)
iii)
iv)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite
, onde
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites, especificamente o conceito de derivada. A gente vai precisar usar a definição de derivada e talvez algumas propriedades de limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que esse limite representa. Ele está na forma
, que é exatamente a definição da derivada de uma função
no ponto
. Então, podemos identificar que
.
Passo 3
Agora, para encontrar
, que é o limite dado, precisamos calcular a derivada de
e avaliá-la em
. A derivada de
é:
Aqui, usamos a regra do poder para derivadas, onde se
, então
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Então,
.
Passo 5
Mas espera, o exercicio diz que
é um número real e nos dá opções específicas. Isso significa que precisamos encontrar o valor de
que faz esse limite existir. Para que o limite seja finito, o numerador deve se anular quando
. Ou seja:
Passo 6
Resolvendo a equação:
Então,
.
Passo 7
Agora que sabemos que
, vamos substituir esse valor na expressão de
:
Podemos simplificar isso:
Então,
Passo 8
Agora, vamos analisar as opções fornecidas:
i)
ii)
iii)
iv)
ii)
iii)
iv)
Perceba que
, mas nenhuma das opções corresponde exatamente a
. Parece que há um erro nas opções, mas a mais próxima seria a opção ii):
Resposta
A opção correta é a ii)
.