lim x a 1raiz5-2 x-1raiz5-2 ax-a

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x a 1raiz5-2 x-1raiz5-2 ax-a. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, especificamente envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver, vamos usar técnicas de simplificação de expressões e propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, observe que diretamente substituindo x = a na expressão, teríamos uma divisão por zero, já que o denominador se torna a - a = 0. Isso indica que precisamos manipular a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador, que é a diferença de duas frações com raízes no denominador. Para facilitar, vamos encontrar um denominador comum e combinar as frações:
1raiz5-2x - 1raiz5-2a = raiz5-2a - raiz5-2xraiz5-2x cdot raiz5-2a

Passo 4

Agora, nossa expressão do limite fica:
lim x a raiz5-2a - raiz5-2x(x - a) cdot raiz5-2x cdot raiz5-2a
Perceba que ainda temos uma forma indeterminada 00 quando x a. Para resolver isso, podemos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador, que é raiz5-2a + raiz5-2x.

Passo 5

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
raiz5-2a - raiz5-2xx - a cdot raiz5-2a + raiz5-2xraiz5-2a + raiz5-2x = (5-2a) - (5-2x)(x - a)(raiz5-2a + raiz5-2x) cdot raiz5-2x cdot raiz5-2a

Passo 6

Simplificando o numerador:
(5 - 2a) - (5 - 2x) = 5 - 2a - 5 + 2x = 2(x - a)
Agora, substituindo de volta:
2(x - a)(x - a)(raiz5-2a + raiz5-2x) cdot raiz5-2x cdot raiz5-2a = 2(raiz5-2a + raiz5-2x) cdot raiz5-2x cdot raiz5-2a

Passo 7

Agora, podemos cancelar o termo (x - a) no numerador e denominador:
2(raiz5-2a + raiz5-2x) cdot raiz5-2x cdot raiz5-2a

Passo 8

Finalmente, ao calcular o limite quando x a, substituímos x por a:
2(raiz5-2a + raiz5-2a) cdot raiz5-2a cdot raiz5-2a = 22raiz5-2a cdot (5-2a) = 22(5 - 2a)^3/2 = 1(5 - 2a)^3/2

Resposta

1(5 - 2a)^3/2

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