lim x 0 sen 3 x-3 x+x^2sen x sen 2 x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0sen(3x)-3x+x^2sen x;sen(2x)
O conteúdo principal aqui é usar a expansão em série de Taylor (Maclaurin) de sen x para aproximar numerador e denominador até a menor potência não nula, e então obter o limite pela razão dos coeficientes.

Passo 2

Vamos expandir sen(3x) em série até termos de ordem x^3:
sen(3x)=3x-(3x)^33!+O(x^5) =3x-27,x^36+O(x^5) =3x-92x^3+O(x^5)

Passo 3

Com isso, o numerador fica
sen(3x)-3x+x^2 =l(3x-tfrac92x^3+O(x^5)r)-3x+x^2 =x^2-92x^3+O(x^5)

Passo 4

Agora, expandimos em série sen x e sen(2x) até ordem x^3:
sen x=x-x^36+O(x^5), sen(2x)=2x-(2x)^36+O(x^5) =2x-43x^3+O(x^5)
Multiplicando:
sen x;sen(2x) =l(x-tfracx^36+O(x^5)r)l(2x-tfrac43x^3+O(x^5)r) =2x^2-53x^4+O(x^6)

Passo 5

Então o quociente é
x^2-tfrac92x^3+O(x^5)2x^2-tfrac53x^4+O(x^6) =x^2l(1-tfrac92x+O(x^3)r)2x^2l(1-tfrac56x^2+O(x^4)r) =12,1-tfrac92x+O(x^3)1-tfrac56x^2+O(x^4)
Quando xto0, ambos os parênteses tendem a 1, logo o limite vale tfrac12.

Resposta

12

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