Resolva as seguintes equações diferenciais, integrando sucessivamente:
(b) d^2 yd x^2=11+x^2 R. y(x)=x arctg x-ln (1+x^2)2+C1 x+C2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem y''=11+x^2 por integrações sucessivas. O conteúdo principal é integrar duas vezes, usando que ddx(arctan x)=11+x^2.

Passo 2

Vamos integrar a primeira vez para encontrar y'(x).
y'(x)=integral11+x^2,dx=arctan x + C1
Aqui usamos a primitiva de 1/(1+x^2), que é arctan x, e introduzimos a constante de integração C1.

Passo 3

Agora integramos y'(x) para obter y(x). Primeiro escrevemos
y(x)=integral y'(x),dx=integrall(arctan x + C1r)dx=integralarctan x,dx + C1x + C2
Para calcular integralarctan x,dx, usamos integração por partes com u=arctan x, dv=dx. Então du=dx1+x^2 e v=x, resultando em
integralarctan x,dx = xarctan x - integralx1+x^2,dx = xarctan x - 12ln(1+x^2)

Passo 4

Substituindo de volta e agrupando as constantes, obtemos a solução geral:
y(x)=xarctan x - 12ln(1+x^2) + C1x + C2

Resposta

y(x)=x\arctan x-\tfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C_{1}x+C_{2}

Exercícios relacionados