Resolva as seguintes equações diferenciais, integrando sucessivamente:
(b)
R.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
por integrações sucessivas. O conteúdo principal é integrar duas vezes, usando que
.
Passo 2
Vamos integrar a primeira vez para encontrar
.
Aqui usamos a primitiva de
, que é
, e introduzimos a constante de integração
.
Passo 3
Agora integramos
para obter
. Primeiro escrevemos
Para calcular
, usamos integração por partes com
,
. Então
e
, resultando em
Passo 4
Substituindo de volta e agrupando as constantes, obtemos a solução geral:
Resposta
y(x)=x\arctan x-\tfrac{1}{2}\ln(1+x^2)+C_{1}x+C_{2}