lim x 2 x^3-2 x^2+5 x-106 x-12

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse limite abaixo juntos:
lim x 2 x^3-2 x^2+5 x-106 x-12
Aqui, estamos lidando com limites em Cálculo, especificamente calculando o valor que a expressão se aproxima quando $ x $ chega perto de 2. Para resolver isso, vamos precisar saber como substituir valores e simplificar expressões que dão uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 2 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
No numerador:
x = 2
No denominador:
2^3 - 2 times 2^2 + 5 times 2 - 10 = 8 - 8 + 10 - 10 = 0
Então, ao substituir $ x = 2 $, obtemos $ \frac{0}{0} $, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos tentar fatorar o numerador. Sabemos que se $ x = 2 $ faz o numerador ser zero, então $ (x - 2) $ é um fator do numerador.
Vamos dividir $ x^{3} - 2x^{2} + 5x - 10 $ por $ (x - 2) $ usando a técnica da divisão sintética:
  1. Escrevemos os coeficientes do polinômio: 1, -2, 5, -10.
  2. Usamos o número 2 (porque $ x = 2 $) para a divisão:
x = 2
Isso nos mostra que:
(x - 2)

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração na expressão original:
(x - 2)(x^2 + 5)6(x - 2)
Perceba que $ (x - 2) $ aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esses termos:
(x - 2)

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir $ x = 2 $ para encontrar o limite:
x = 2

Resposta

O limite é $ \frac{3}{2} $.

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