Passo 1
E aí! Vamos resolver esse limite abaixo juntos:
Aqui, estamos lidando com limites em Cálculo, especificamente calculando o valor que a expressão se aproxima quando $ x $ chega perto de 2. Para resolver isso, vamos precisar saber como substituir valores e simplificar expressões que dão uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 2 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
No numerador:
No denominador:
Então, ao substituir $ x = 2 $, obtemos $ \frac{0}{0} $, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Para simplificar, vamos tentar fatorar o numerador. Sabemos que se $ x = 2 $ faz o numerador ser zero, então $ (x - 2) $ é um fator do numerador.
Vamos dividir $ x^{3} - 2x^{2} + 5x - 10 $ por $ (x - 2) $ usando a técnica da divisão sintética:
- Escrevemos os coeficientes do polinômio: 1, -2, 5, -10.
- Usamos o número 2 (porque $ x = 2 $) para a divisão:
Isso nos mostra que:
Passo 4
Agora, substituímos a fatoração na expressão original:
Perceba que $ (x - 2) $ aparece no numerador e no denominador, então podemos cancelar esses termos:
Passo 5
Com a expressão simplificada, agora podemos substituir $ x = 2 $ para encontrar o limite:
Resposta
O limite é $ \frac{3}{2} $.