Resolva a equação diferencial dada.
d yd x=x+3 y+44 y-3 x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem dydx=x+3y+44y-3x+1. O conteúdo principal é reconhecer que essa equação pode ser reescrita como uma forma diferencial exata, e vamos precisar verificar a exatidão e encontrar uma função potencial.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a equação na forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0. Multiplicando em cruz, temos:
(4y-3x+1),dy-(x+3y+4),dx=0
Logo, definimos M(x,y)=-(x+3y+4) e N(x,y)=4y-3x+1.

Passo 3

Agora, verificamos se é exata checando as derivadas parciais:
partial Mpartial y=-3, partial Npartial x=-3
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Para achar a função potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N, integramos M em relação a x:
phi(x,y)=integral -(x+3y+4),dx = -x^22-3xy-4x + h(y)
Em seguida, derivamos phi em relação a y e igualamos a N:
phiy = -3x + h'(y) = 4y-3x+1 Longrightarrow h'(y)=4y+1 Integrando em y h(y)=2y^2+y.

Passo 5

Portanto, a função potencial completa é
phi(x,y)=-tfracx^22-3xy-4x+2y^2+y, e a solução geral implícita fica
phi(x,y)=C, onde C é constante arbitrária.

Resposta

-tfracx^22-3xy-4x+2y^2+y=C

Exercícios relacionados