(3) lim x 2 x-2x^3-8=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o limite de $ \frac{x - 2}{x^{3} - 8} $ quando $ x $ se aproxima de 2. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 2 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
x = 2
Quando a substituição direta resulta em $ \frac{0}{0} $, isso é chamado de indeterminação. Então, precisamos simplificar a expressão para resolver essa indeterminação.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador $ x^{3} - 8 $. Sabemos que $ x^{3} - a^{3} = (x - a)(x^{2} + ax + a^{2}) $. Aqui, $ a = 2 $, então:
x^3 - 8

Passo 4

Agora, reescrevemos a expressão original usando a fatoração que encontramos:
x - 2x^3 - 8 = x - 2(x - 2)(x^2 + 2x + 4)
Perceba que o termo $ x - 2 $ aparece no numerador e no denominador. Podemos cancelar esses termos, simplificando a fração:
x - 2

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo $ x = 2 $:
x = 2

Resposta

O limite é $ \frac{1}{12} $.

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