lim x 3 3 x-9x^2-5 x+6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 3 da expressão $ \frac{3x - 9}{x^2 - 5x + 6} $. Aqui estamos lidando com limites de funções racionais, que é uma parte do Cálculo. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão e ver se conseguimos cancelar algum termo que está causando uma indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ x = 3 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
x = 3
Aí, dá uma indeterminação $ \frac{0}{0} $, que significa que não conseguimos concluir nada diretamente. Então, precisamos simplificar a expressão para resolver isso.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para tentar cancelar algum fator comum:
  • Numerador: $ 3x - 9 $
    Podemos fatorar o 3:
    3x - 9
  • Denominador: $ x^2 - 5x + 6 $
    Aqui, buscamos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3:
    3x - 9 = 3(x - 3)

Passo 4

Agora, reescrevemos a expressão original com essas fatorações:
3(x - 3)(x - 2)(x - 3)
Olha só, temos um termo $ (x - 3) $ no numerador e no denominador que pode ser cancelado, já que $ x $ não está realmente chegando a 3, mas sim se aproximando disso:
(x - 3)

Passo 5

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite direto substituindo $ x = 3 $:
x = 3

Resposta

O limite é igual a 3.

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