Utilizando o Método de Newton-Raphson, determine as raízes das funções elencadas abaixo dados seus respectivos intervalos. Verifique a Pertinência das raízes em seus respectivos intervalos utilizando o Teorema de Bolzano. Utilize todas as casas decimais da calculadora. Como critério de parada utilize 5 iterações, se possível. Compute o erro numérico de cada iteração como sendo o módulo da função para a raiz aproximada, ou seja, (|f(xk)|=varepsilon). Apresente as respostas finais aproximadas acompanhadas do respectivo erro numérico.
1-) f(x)=sin (x)-x^3, pertencente ao intervalo I=[0 ; 1].

Passo 1

Neste exercício vamos usar o Método de Newton–Raphson para encontrar a raiz de f(x)=sin(x)-x^3 no intervalo [0,1], verificar via Teorema de Bolzano se existe raiz não trivial em (0,1), fazer 5 iterações e, em cada passo, calcular o erro varepsilonk=|f(xk)|.
Calculamos f(0)=sin(0)-0^3=0, f(0.5)=sin(0.5)-0.5^3approx0.47942554-0.125=0.35442554>0 e f(1)=sin(1)-1approx0.84147098-1=-0.15852902<0. Como f(0.5)cdot f(1)<0, há pelo menos uma raiz em (0.5,1) além da trivial x=0.

Passo 2

Definimos a derivada f'(x)=cos(x)-3x^2 e a fórmula iterativa
xk+1=xk-f(xk)f'(xk),
escolhendo chute inicial x0=0.9 dentro do subintervalo onde f muda de sinal.

Passo 3

Executamos 5 iterações de Newton–Raphson e calculamos varepsilonk=|f(xk)|:
• k=1: x1=0.9-0.05432691-1.80839003=0.93004079, varepsilon1=|f(x1)|=0.00284314
• k=2: x2=0.93004079--0.00284314-1.99733161=0.92861673, varepsilon2=0.00088080
• k=3: x3=0.92861673-0.00088080-1.98582774=0.92906035, varepsilon3=0.00064254
• k=4: x4=0.92906035--0.00064254-1.99135042=0.92873758, varepsilon4=0.00110809
• k=5: x5=0.92873758--0.00110809-1.98968854=0.92818040, varepsilon5=0.00057839

Resposta

Após 5 iterações, a aproximação da raiz não trivial em (0,1) é xapprox0.92818040 com erro numérico varepsilon=|f(x)|approx0.00057839.

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