Utilizando o Método de Newton-Raphson, determine as raízes das funções elencadas abaixo dados seus respectivos intervalos. Verifique a Pertinência das raízes em seus respectivos intervalos utilizando o Teorema de Bolzano. Utilize todas as casas decimais da calculadora. Como critério de parada utilize 5 iterações, se possível. Compute o erro numérico de cada iteração como sendo o módulo da função para a raiz aproximada, ou seja,
. Apresente as respostas finais aproximadas acompanhadas do respectivo erro numérico.
1-)
, pertencente ao intervalo
.
1-)
Passo 1
Neste exercício vamos usar o Método de Newton–Raphson para encontrar a raiz de
no intervalo
, verificar via Teorema de Bolzano se existe raiz não trivial em
, fazer 5 iterações e, em cada passo, calcular o erro
.
Calculamos ,
e
. Como
, há pelo menos uma raiz em
além da trivial
.
Calculamos
Passo 2
Definimos a derivada
e a fórmula iterativa
escolhendo chute inicial
Passo 3
Executamos 5 iterações de Newton–Raphson e calculamos
:
• k=1: ,
• k=2: ,
• k=3: ,
• k=4: ,
• k=5: ,
• k=1:
• k=2:
• k=3:
• k=4:
• k=5:
Resposta
Após 5 iterações, a aproximação da raiz não trivial em (0,1) é
com erro numérico
.