Mostre que a equação dada abaixo não é exata. Encontre um fator integrante que transforme a equação abaixo em exata. Mostre que a equação obtida é exata e encontre sua solução geral.
Passo 1
Estamos lidando com uma equação diferencial da forma
, onde e
. O objetivo é mostrar que ela não é exata, encontrar um fator integrante que a torne exata, verificar essa exatidão e, por fim, achar a solução geral.
Passo 2
Para verificar exatidão, calculamos as derivadas parciais:
Como
Passo 3
Procuramos um fator integrante
função apenas de
, usando a condição
que depende só de
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, obtemos
Agora
portanto
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integrando
Derivando essa expressão em relação a
:
que deve ser igual a
Passo 6
A solução implícita geral vem de
onde