Mostre que a equação dada abaixo não é exata. Encontre um fator integrante que transforme a equação abaixo em exata. Mostre que a equação obtida é exata e encontre sua solução geral.
(y^2 cotg x) d x+2 y d y=0, 0

Passo 1

Estamos lidando com uma equação diferencial da forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, onde e M(x,y) = y^2cotg x. O objetivo é mostrar que ela não é exata, encontrar um fator integrante que a torne exata, verificar essa exatidão e, por fim, achar a solução geral.

Passo 2

Para verificar exatidão, calculamos as derivadas parciais:
My = partialpartial y(y^2cotg x) = 2ycotg x,
Como Nx = partialpartial x(2y) = 0, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(x) função apenas de x, usando a condição

que depende só de My - NxN = 2ycotg x - 02y = cotg x,. Logo,

Passo 4

Multiplicando a equação original por mu(x)=sin x, obtemos
M^*(x,y) = y^2cotg xcdotsin x = y^2cos x,
Agora
N^*(x,y) = 2ycdotsin x
M^*y = 2ycos x,
portanto N^*x = 2ycos x, e a equação é exata.

Passo 5

Como é exata, existe Psi(x,y) tal que
Psix = y^2cos x e Psiy = 2ysin x
Integrando Psix em relação a x:
Psi(x,y) = integral y^2cos x,dx = y^2sin x + h(y)
Derivando essa expressão em relação a y:
Psiy = 2ysin x + h'(y),
que deve ser igual a 2ysin x. Assim, h'(y)=0 e h(y) é constante.

Passo 6

A solução implícita geral vem de
Psi(x,y) = y^2sin x = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y^2sin x = C

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