© lim x +infty(1+13 x)^x+2

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular limxto+inftyl(1+tfrac13xr)^x+2. O conteúdo é limite de formas do tipo (1+tfrac1n)^n relacionando com o número e. Vamos usar a definição fundamental de e=limntoinfty(1+1/n)^n e propriedades de limites.

Passo 2

Para facilitar, separamos a potência em dois fatores. Podemos escrever:

Passo 3

Agora analisamos cada fator separadamente. Primeiro, note que
l(1+tfrac13xr)^x =l(l(1+tfrac13xr)^3xr)^1/3
Como y=3xto+infty quando xto+infty, usamos o limite limytoinfty(1+1/y)^y=e. Logo
limxto+inftyl(1+tfrac13xr)^x=e^1/3

Passo 4

O segundo fator tende a
limxto+inftyl(1+tfrac13xr)^2=1^2=1

Passo 5

Pela propriedade do produto de limites, o limite total é o produto dos resultados obtidos. Portanto,
limxto+inftyl(1+tfrac13xr)^x+2=e^1/3cdot1=e^1/3

Resposta

e^{1/3}

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