lim x +infty(1+3x)^7 x

Passo 1

O enunciado pede a gente calcular o limite de l(1+tfrac3xr)^7x quando xto+infty. O conteúdo é limite do tipo 1^infty, que leva à definição do número e.

Passo 2

Para lidar com a indeterminação, escrevemos a expressão como uma exponencial: usamos a^b = e^bln(a). Assim,
l(1+3xr)^7x = e^7xlnl(1+tfrac3xr)

Passo 3

Agora precisamos avaliar o limite do expoente:
L = limxto+infty7xlnl(1+3xr)
Para isso, note que quando xto+infty, tfrac3xto0 e usamos o fato de que ln(1+u)sim u para uto0. Definindo u=tfrac3x, temos
L = limuto0^+7cdot3ucdotln(1+u) mas u=tfrac3x Rightarrow x=tfrac3u,
que simplifica para
L = 7cdot3cdotlimuto0ln(1+u)u = 21cdot1 = 21

Passo 4

Portanto, o limite original fica
limxto+inftyl(1+3xr)^7x = e^L = e^21

Resposta

e^{21}

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