Seja y=y1(x) uma solução de
y^prime+p(x) y=0
e seja y=y2(x) uma solução de
y^prime+p(x) y=q(x)
Mostrar que y=y1(x)+y2(x) também é solução de (2).
(b) Mostrar que phi(x)=1 / x é solução de y^prime+y^2=0 para x>0, mas que y=c phi(x) não é solução desta equação a menos que c=0 ou c=1. Observe que a equação da parte b) é não-linear e a da parte a) é linear.

Passo 1

Na parte a) temos duas equações lineares de primeira ordem: a homogênea y'+p(x)y=0 com solução y1(x) e a não-homogênea y'+p(x)y=q(x) com solução y2(x). Vamos usar a propriedade de linearidade do operador L[y]=y'+p(x)y.

Passo 2

Aplicamos o operador L à soma y1+y2:
L[y1+y2]=(y1+y2)'+p(x)(y1+y2)=y1'+y2'+p(x)y1+p(x)y2
Como y1 resolve a homogênea e y2 a não-homogênea, temos y1'+p(x)y1=0 e y2'+p(x)y2=q(x).

Passo 3

Somando essas duas igualdades obtemos
L[y1+y2]=0+q(x)=q(x),
logo y1+y2 satisfaz y'+p(x)y=q(x). Isso mostra que na parte a) a superposição vale por causa da linearidade.

Passo 4

Na parte b) a equação é não-linear: y'+y^2=0. Testamos a função phi(x)=1/x para x>0. Primeiro calculemos phi'(x):
phi'(x)=ddxl(x^-1r)=-x^-2=-1x^2

Passo 5

Agora calculemos phi(x)^2:
phi(x)^2=l(1xr)^2=1x^2

Passo 6

Somando phi' + phi^2 vemos que
phi'(x)+phi(x)^2=-1x^2+1x^2=0,
o que prova que phi(x)=1/x é solução da parte b).

Passo 7

Para y=cphi(x)=c/x com constante c, temos
y'=ddxl(cxr)=-cx^2,
y^2=l(cxr)^2=c^2x^2

Passo 8

Então
y'+y^2=-cx^2+c^2x^2=c^2-cx^2= racc(c-1)x^2
Essa expressão só é zero se c(c-1)=0, ou seja, c=0 ou c=1. Isso mostra que, por ser não-linear, a solução geral não aceita qualquer múltiplo constante.

Passo 9

Comentário final: na parte a) usamos a linearidade do operador diferencial para superpor soluções, mas na parte b) a não-linearidade impede superposição livre de constantes.

Resposta

(a) A soma y1+y2 satisfaz y'+p(x)y=q(x) por linearidade. (b) phi(x)=1/x satisfaz y'+y^2=0; já y=c/x só funciona se c=0 ou c=1.

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