Seja
uma solução de
e seja
uma solução de
Mostrar que
também é solução de (2).
(b) Mostrar que
é solução de
para
, mas que
não é solução desta equação a menos que
ou
. Observe que a equação da parte b) é não-linear e a da parte a) é linear.
(b) Mostrar que
Passo 1
Na parte a) temos duas equações lineares de primeira ordem: a homogênea
com solução
e a não-homogênea
com solução
. Vamos usar a propriedade de linearidade do operador
.
Passo 2
Aplicamos o operador
à soma
:
Como
resolve a homogênea e
a não-homogênea, temos
e
.
Passo 3
Somando essas duas igualdades obtemos
logo
satisfaz
. Isso mostra que na parte a) a superposição vale por causa da linearidade.
Passo 4
Na parte b) a equação é não-linear:
. Testamos a função
para
. Primeiro calculemos
:
Passo 5
Agora calculemos
:
Passo 6
Somando
vemos que
o que prova que
é solução da parte b).
Passo 7
Para
com constante
, temos
Passo 8
Então
Essa expressão só é zero se
, ou seja,
ou
. Isso mostra que, por ser não-linear, a solução geral não aceita qualquer múltiplo constante.
Passo 9
Comentário final: na parte a) usamos a linearidade do operador diferencial para superpor soluções, mas na parte b) a não-linearidade impede superposição livre de constantes.
Resposta
(a) A soma
satisfaz
por linearidade. (b)
satisfaz
; já
só funciona se
ou
.