lim x +infty raiz2 x^2+7x+3=
(A) raiz23 :
(B) +infty.
© raiz73.
(D) raiz2.
(E) outro valor.

Passo 1

Vamos resolver o limite limx +infty raiz2 x^2+7x+3. Para isso, vamos usar conceitos de limites e manipulação de expressões algébricas envolvendo radicais e polinômios.

Passo 2

Primeiro, olhamos para o numerador raiz2x^2 + 7. Quando x tende a infinito, o termo 2x^2 domina o +7. Isso significa que, para valores muito grandes de x, o +7 tem pouca influência no resultado.

Passo 3

Podemos simplificar o numerador fatorando x^2 de dentro da raiz:
raiz2x^2 + 7 = raizx^2 (2 + 7x^2) = x raiz2 + 7x^2
Aqui, usamos a propriedade raiza cdot b = raiza cdot raizb.

Passo 4

Agora, vamos analisar o denominador x + 3. Similarmente, para valores grandes de x, o +3 tem pouca influência, então podemos fatorar x:
x + 3 = x (1 + 3x)

Passo 5

Substituindo as expressões simplificadas no limite original, temos:
limx +infty x raiz2 + 7x^2x (1 + 3x) = limx +infty raiz2 + 7x^21 + 3x

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de raiz2 + 7x^2 e 1 + 3x quando x tende a infinito:
  • 7x^2 0 quando x +infty, então raiz2 + 7x^2 raiz2.
  • 3x 0 quando x +infty, então 1 + 3x 1.

Passo 7

Substituindo esses limites, temos:
limx +infty raiz21 = raiz2

Resposta

A resposta correta é (D) raiz2.

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