lim x -infty(raiz[3]x^2+x-raiz[4]x^4+5x+1)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com funções de limites envolvendo raízes, especificamente raízes cúbicas e de quarto grau. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comportam essas funções quando tende a .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da fração: e . Quando tende a , domina sobre em , então podemos aproximar . Como é negativo, , então .

Passo 3

Agora, vamos olhar para . Aqui, domina sobre 5 quando tende a , então . Novamente, como é negativo, , portanto .

Passo 4

Agora, substituímos essas aproximações no numerador:
raiz[3]x^2+x - raiz[4]x^4+5 approx (-x)^2/3 - (-x) = (-x)^2/3 + x

Passo 5

Analisando a expressão , percebemos que cresce mais lentamente que quando tende a . Portanto, a diferença entre esses termos será dominada por .

Passo 6

Agora, olhamos para o denominador . Para muito grande em valor absoluto, .

Passo 7

Substituindo as aproximações no limite original, temos:
limx -infty((-x)^2/3 + xx) = limx -infty((-x)^2/3x + xx) = limx -infty((-x)^-1/3 + 1)

Passo 8

Agora, observamos que 0 + 1 = 1 tende a 0 quando limx -infty((-x)^-1/3 - 1) = -1 , pois o denominador cresce sem limites. Assim, o limite simplifica para:
No entanto, devemos considerar o sinal original de . Como é negativo, a expressão correta fica:

Resposta

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