Se
e
são deriváveis em
, então também o são
(
um número complexo qualquer),
,
e
(desde que
) e valem:
(i)
;
(ii)
;
(iii) (1 pt)
.
(i)
(ii)
(iii) (1 pt)
Passo 1
A questão pedia para mostrar, usando a definição de derivada complexa, que se f e g são deriváveis em z₀ então valem as regras de derivação de múltiplo escalar, soma e produto. Vamos precisar da definição
A derivada de uma função h em z₀ é
e supomos que os limites envolvidos existam.
Passo 2
Para a regra do múltiplo escalar, considere h(z)=c·f(z). Então
Como c é constante, podemos fatorar:
Passo 3
Para a soma, considere h(z)=f(z)+g(z). Temos
Podemos separar em dois limites:
Passo 4
Para o produto, faça h(z)=f(z)g(z). Então
Escreva a diferença em duas partes:
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Como g(z)→g(z₀), isso dá
Resposta
(i)
(ii)
(iii)