Se f e g são deriváveis em z0, então também o são c f ( c um número complexo qualquer), f+g, f g e 1f (desde que f(z0) neq 0 ) e valem:
(i) (0.5 pt)(c f)^prime(z0)=c f^prime(z0);
(ii) (0.5 pt)(f+g)^prime(z0)=f^prime(z0)+g^prime(z0);
(iii) (1 pt) (f g)^prime(z0)=f^prime(z0) g(z0)+f(z0) g^prime(z0).

Passo 1

A questão pedia para mostrar, usando a definição de derivada complexa, que se f e g são deriváveis em z₀ então valem as regras de derivação de múltiplo escalar, soma e produto. Vamos precisar da definição
A derivada de uma função h em z₀ é
h'(z₀)=limzto z₀h(z)-h(z₀)z-z₀
e supomos que os limites envolvidos existam.

Passo 2

Para a regra do múltiplo escalar, considere h(z)=c·f(z). Então
(f·c)'(z₀)=limzto z₀c,f(z)-c,f(z₀)z-z₀
Como c é constante, podemos fatorar:
(f·c)'(z₀)=climzto z₀f(z)-f(z₀)z-z₀=c,f'(z₀)

Passo 3

Para a soma, considere h(z)=f(z)+g(z). Temos
(f+g)'(z₀)=limzto z₀[f(z)-f(z₀)]+[g(z)-g(z₀)]z-z₀
Podemos separar em dois limites:
(f+g)'(z₀)=limzto z₀f(z)-f(z₀)z-z₀+limzto z₀g(z)-g(z₀)z-z₀=f'(z₀)+g'(z₀)

Passo 4

Para o produto, faça h(z)=f(z)g(z). Então
h(z)-h(z₀)z-z₀=f(z)g(z)-f(z₀)g(z₀)z-z₀
Escreva a diferença em duas partes:
f(z)g(z)-f(z₀)g(z₀)=[f(z)-f(z₀)]g(z)+f(z₀)[g(z)-g(z₀)]
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(fg)'(z₀)=limzto z₀l(f(z)-f(z₀)z-z₀g(z)+f(z₀)g(z)-g(z₀)z-z₀r)
Como g(z)→g(z₀), isso dá
f'(z₀)g(z₀)+f(z₀)g'(z₀)

Resposta

(i) (cf)'(z₀)=c,f'(z₀)
(ii) (f+g)'(z₀)=f'(z₀)+g'(z₀)
(iii) (fg)'(z₀)=f'(z₀)g(z₀)+f(z₀)g'(z₀)

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