Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando $ x $ tende ao infinito da expressão $ \sqrt{x^{2}-5} - x $. Vamos usar conceitos de Cálculo de Limites para resolver isso. Precisaremos manipular a expressão para facilitar o cálculo do limite.
Passo 2
Primeiro, observamos que quando $ x $ cresce muito, $ \sqrt{x^{2}-5} $ se comporta de forma parecida com $ x $, já que o termo constante $ -5 $ se torna insignificante. Mas queremos entender exatamente o que acontece com a diferença $ \sqrt{x^{2}-5} - x $.
Passo 3
Uma estratégia útil para resolver limites envolvendo raízes é multiplicar e dividir pela expressão conjugada. No nosso caso, multiplicamos e dividimos por $ \sqrt{x^{2}-5} + x $, que é o conjugado de $ \sqrt{x^{2}-5} - x $:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, analisamos o denominador quando $ x $ tende ao infinito:
Portanto, a expressão simplificada é:
E ao calcular o limite quando $ x $ vai para o infinito:
Resposta
O limite é igual a $ 0 $.