lim x infty raizx^2-5-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando $ x $ tende ao infinito da expressão $ \sqrt{x^{2}-5} - x $. Vamos usar conceitos de Cálculo de Limites para resolver isso. Precisaremos manipular a expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando $ x $ cresce muito, $ \sqrt{x^{2}-5} $ se comporta de forma parecida com $ x $, já que o termo constante $ -5 $ se torna insignificante. Mas queremos entender exatamente o que acontece com a diferença $ \sqrt{x^{2}-5} - x $.

Passo 3

Uma estratégia útil para resolver limites envolvendo raízes é multiplicar e dividir pela expressão conjugada. No nosso caso, multiplicamos e dividimos por $ \sqrt{x^{2}-5} + x $, que é o conjugado de $ \sqrt{x^{2}-5} - x $:
raizx^2-5 + x

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador:
(raizx^2-5 - x)(raizx^2-5 + x) = (raizx^2-5)^2 - x^2 = (x^2 - 5) - x^2 = -5
Então, a expressão fica:
-5raizx^2-5 + x

Passo 5

Agora, analisamos o denominador quando $ x $ tende ao infinito:
x
Portanto, a expressão simplificada é:
raizx^2-5 + x approx x + x = 2x
E ao calcular o limite quando $ x $ vai para o infinito:
-52x

Resposta

O limite é igual a $ 0 $.

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