lim x 0 tan (x)-x-x^33x^5

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o seguinte limite:
lim x 0 tan (x)-x-x^33x^5
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor da função tangente e manipular as expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função tan(x) em uma série de potências. A série de Taylor da tangente em torno de 0 é:
tan(x) = x + x^33 + 2x^515 + O(x^7)
Aqui, O(x^7) representa os termos de ordem superior que ficam desprezíveis para nosso cálculo.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão no numerador do nosso limite:
tan(x) - x - x^33 = ( x + x^33 + 2x^515 + O(x^7) ) - x - x^33
Simplificando os termos:
tan(x) - x - x^33 = 2x^515 + O(x^7)

Passo 4

Agora, substituímos essa simplificação de volta no limite original:
lim x 0 tan (x)-x-x^33x^5 = lim x 0 2x^515 + O(x^7)x^5
Dividindo cada termo no numerador por x^5:
lim x 0 ( 215 + O(x^2) )

Passo 5

Finalmente, ao fazer x tender a 0, os termos O(x^2) se tornam negligenciáveis:
lim x 0 ( 215 + O(x^2) ) = 215

Resposta

O valor do limite é 215.

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