Passo 1
Beleza! Vamos resolver o seguinte limite:
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a expansão em série de Taylor da função tangente e manipular as expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir a função
em uma série de potências. A série de Taylor da tangente em torno de 0 é:
Aqui,
representa os termos de ordem superior que ficam desprezíveis para nosso cálculo.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expansão no numerador do nosso limite:
Simplificando os termos:
Passo 4
Agora, substituímos essa simplificação de volta no limite original:
Dividindo cada termo no numerador por
:
Passo 5
Finalmente, ao fazer
tender a 0, os termos
se tornam negligenciáveis:
Resposta
O valor do limite é
.