lim x 0^+ ln (sen x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos o limite de quando se aproxima de 0 pela direita (ou seja, valores positivos bem próximos de 0). Isso está relacionado ao conteúdo de limites e funções logarítmicas e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como se comporta perto de 0 e como o logaritmo natural ( ) reage a isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando sen x approx x quando x to 0 está muito próximo de 0. Sabemos que, para valores pequenos de , a função pode ser aproximada por mesmo. Matemáticamente, isso é expresso como:
Isso acontece porque o gráfico de é quase uma linha reta perto de 0.

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na função logarítmica:
Então, o limite original:

Passo 4

Vamos analisar o limite de limx to 0^+ ln(x) = -infty quando se aproxima de 0 pela direita. Sabemos que:
Isso significa que, à medida que fica muito pequeno e positivo, o valor de diminui sem limite, indo para menos infinito.

Resposta

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