sumn=5^infty 1(n-4)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou a soma infinita . Essa é uma questão de séries infinitas na matemática, que estuda somas com infinitos termos. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e identificar uma série conhecida que a gente já sabe o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o índice da soma. Observe que sumn=5^infty 1(n-4)^2 = sumk=1^infty 1k^2 começa em 5, então vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja . Assim, quando , . A soma original fica:

Passo 3

Agora, reconhecemos a soma sumk=1^infty 1k^2 = pi^26 como a Série de Basilea. Essa série é bem famosa na matemática e seu valor é conhecido:

Passo 4

Então, aplicando isso à nossa soma original, temos:
sumn=5^infty 1(n-4)^2 = pi^26

Resposta

O valor da soma é .

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