4.) Prove que uma seqüência limitada converge se, e somente se, possui um único valor de aderência.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada uma sequência real limitada
, temos
Aqui “valor de aderência” (ou ponto de acumulação) é um número
tal que alguma subsequência de
converge para
. Vamos usar as definições de convergência, de valor de aderência e o Teorema de Bolzano–Weierstrass (que garante existência de subsequências convergentes em toda sequência limitada).
Passo 2
(
) Suponha que
converge para algum
. Então, por definição, para todo
existe
tal que
Qualquer subsequência de
também satisfaz essa condição e, portanto, converge para o mesmo
. Assim, não pode haver outro valor de aderência além de
. Logo, a única possível subsequência convergente é para
, isto é, existe exatamente um valor de aderência.
Passo 3
(
) Agora suponha que
seja limitada e tenha exatamente um valor de aderência, digamos
. Queremos provar que
.
Por contradição, suponha que . Então existe
tal que, para todo
, existe
com
Por contradição, suponha que
Isso permite extrair uma subsequência
satisfazendo
Como
é limitada,
também é limitada. Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, de
extraímos uma subsequência convergente cujo limite
existe. Mas dessa construção vem
logo
. Isso contradiz a hipótese de que
é o único valor de aderência. Portanto a suposição
era falsa e concluímos
.
Resposta
Ficou demonstrado que
converge se, e somente se, tem exatamente um valor de aderência.