4.) Prove que uma seqüência limitada converge se, e somente se, possui um único valor de aderência.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada uma sequência real limitada (x_n), temos
(x_n)\text{ converge} \quad\Longleftrightarrow\quad \text{existe exatamente um valor de aderência.}ê
Aqui “valor de aderência” (ou ponto de acumulação) é um número L tal que alguma subsequência de (x_n) converge para L. Vamos usar as definições de convergência, de valor de aderência e o Teorema de Bolzano–Weierstrass (que garante existência de subsequências convergentes em toda sequência limitada).

Passo 2

( \Rightarrow) Suponha que (x_n) converge para algum L. Então, por definição, para todo \varepsilon>0 existe N tal que
n\ge N\quad\Longrightarrow\quad |x_n - L|<\varepsilon.
Qualquer subsequência de (x_n) também satisfaz essa condição e, portanto, converge para o mesmo L. Assim, não pode haver outro valor de aderência além de L. Logo, a única possível subsequência convergente é para L, isto é, existe exatamente um valor de aderência.

Passo 3

( \Leftarrow) Agora suponha que (x_n) seja limitada e tenha exatamente um valor de aderência, digamos L. Queremos provar que \lim_{n\to\infty}x_n = L.
Por contradição, suponha que (x_n)\nrightarrow L. Então existe \varepsilon_0>0 tal que, para todo N, existe n>N com
|x_n - L|\ge \varepsilon_0.
Isso permite extrair uma subsequência (x_{n_k}) satisfazendo
|x_{n_k}-L|\ge \varepsilon_0\quad\forall k.
Como (x_n) é limitada, (x_{n_k}) também é limitada. Pelo Teorema de Bolzano–Weierstrass, de (x_{n_k}) extraímos uma subsequência convergente cujo limite L' existe. Mas dessa construção vem
|L' - L|\;\ge\;\varepsilon_0>0,
logo L'\neq L. Isso contradiz a hipótese de que L é o único valor de aderência. Portanto a suposição (x_n)\nrightarrow L era falsa e concluímos \lim_{n\to\infty}x_n=L.

Resposta

Ficou demonstrado que (x_n) converge se, e somente se, tem exatamente um valor de aderência.

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