Se \lim x_{n}=x e \lim \left(x_{n}-y_{n}\right)=0, prove que \lim y_{n}=x.

Passo 1

O enunciado nos dá duas sequências \{x_n\} e \{y_n\} e uma constante (possível número real) x. As informações fornecidas são:
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = x.
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty} (x_n - y_n) = 0.
O que o enunciado pede: provar que \displaystyle \lim_{n\to\infty} y_n = x.

Passo 2

Relembrando a definição de convergência (lembre-se bem, é a base do argumento): dizer que \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = a significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N,\;|a_n-a|<\varepsilon.
Vou usar essa definição duas vezes: uma para \{x_n\} e outra para \{x_n-y_n\}.

Passo 3

Planejamento do cálculo: quero estimar a distância |y_n-x|. A desigualdade triangular básica diz que, para quaisquer números reais u e v,
|u+v|\le |u|+|v|.
Escolhendo u = y_n-x_n e v = x_n-x obtemos
|y_n-x| = |(y_n-x_n) + (x_n-x)| \le |y_n-x_n| + |x_n-x|.
Essa desigualdade é a chave: ela mostra que controlar |y_n-x| pode ser feito controlando |y_n-x_n| e |x_n-x| separadamente.

Passo 4

Prova \varepsilon- N completa. Seja \varepsilon>0 arbitrário. Como \displaystyle \lim_{n\to\infty} x_n = x, pela definição existe N_1\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_1,
|x_n-x|<\frac{\varepsilon}{2}.
Como \displaystyle \lim_{n\to\infty} (x_n-y_n)=0, existe N_2\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N_2,
|x_n-y_n|<\frac{\varepsilon}{2}.
Agora tome N=\max\{N_1,N_2\}. Para todo n\ge N ambas desigualdades valem simultaneamente. Usando a desigualdade do Passo 3,
|y_n-x|\le |y_n-x_n| + |x_n-x| = |x_n-y_n| + |x_n-x| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
Como \varepsilon>0 era arbitrário, isso prova, pela definição de limite, que \displaystyle \lim_{n\to\infty} y_n = x.

Passo 5

Comentário didático/intuitivo (opcional, para fixar): a prova formal acima é só uma tradução do raciocínio “ y_n está muito próximo de x_n e x_n está muito próximo de x, logo y_n também está muito próximo de x”. Uma forma rápida usando propriedades de limites (se já estiverem disponíveis) é notar que
y_n = x_n - (x_n-y_n),
então, assumindo as regras lineares de limites, \displaystyle \lim y_n = \lim x_n - \lim(x_n-y_n) = x - 0 = x. Mas a prova \varepsilon- N do Passo 4 é a demonstração elemental que não depende dessas regras.

Passo 6

Exemplo numérico para intuição: seja \;x_n = 1+\dfrac{1}{n}\; (logo \lim x_n=1) e defina \;y_n = x_n - \dfrac{1}{n^2} = 1 + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n^2}\;. Então x_n-y_n = 1/n^2\to 0. Pelo que foi provado, y_n\to 1. Dá para ver isso diretamente: y_n difere de 1 por \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}, que tende a 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} y_n = x

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