Se
e
, prove que
.
Passo 1
O enunciado nos dá duas sequências
e
e uma constante (possível número real)
. As informações fornecidas são:
-
. -
.
O que o enunciado pede: provar que
.
Passo 2
Relembrando a definição de convergência (lembre-se bem, é a base do argumento): dizer que
significa que
Vou usar essa definição duas vezes: uma para
e outra para
.
Passo 3
Planejamento do cálculo: quero estimar a distância
. A desigualdade triangular básica diz que, para quaisquer números reais
e
,
Escolhendo
e
obtemos
Essa desigualdade é a chave: ela mostra que controlar
pode ser feito controlando
e
separadamente.
Passo 4
Prova
-
completa. Seja
arbitrário. Como
, pela definição existe
tal que, para todo
,
Como
, existe
tal que, para todo
,
Agora tome
. Para todo
ambas desigualdades valem simultaneamente. Usando a desigualdade do Passo 3,
Como
era arbitrário, isso prova, pela definição de limite, que
.
Passo 5
Comentário didático/intuitivo (opcional, para fixar): a prova formal acima é só uma tradução do raciocínio “
está muito próximo de
e
está muito próximo de
, logo
também está muito próximo de
”. Uma forma rápida usando propriedades de limites (se já estiverem disponíveis) é notar que
então, assumindo as regras lineares de limites,
. Mas a prova
-
do Passo 4 é a demonstração elemental que não depende dessas regras.
Passo 6
Exemplo numérico para intuição: seja
(logo
) e defina
. Então
. Pelo que foi provado,
. Dá para ver isso diretamente:
difere de
por
, que tende a
.