Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 3 da expressão $ \sqrt[3]{x-3} \cdot \sin\left(\frac{1}{x-3}\right) $. Vamos precisar usar conceitos de limites, propriedades das funções radicais e trigonométricas, além de entender como multiplicar dois fatores que estão se comportando de formas diferentes quando $ x $ chega perto de 3.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente para entender como elas se comportam quando $ x $ se aproxima de 3.
A expressão está dividida em duas partes:
- $ \sqrt[3]{x-3} $ – a raiz cúbica de $ x-3 $.
- $ \sin\left(\frac{1}{x-3}\right) $ – o seno de $ \frac{1}{x-3} $.
Passo 3
Vamos ver o que acontece com $ \sqrt[3]{x-3} $ quando $ x $ se aproxima de 3. Se substituirmos $ x $ por valores próximos de 3, $ x-3 $ fica próximo de 0. A raiz cúbica de um número que está perto de 0 também estará perto de 0. Então, $ \sqrt[3]{x-3} $ tende a 0 quando $ x $ tende a 3.
Matematicamente:
Passo 4
Agora, vamos analisar $ \sin\left(\frac{1}{x-3}\right) $ quando $ x $ se aproxima de 3. À medida que $ x $ se aproxima de 3, $ x-3 $ tende a 0, e $ \frac{1}{x-3} $ cresce sem limites (tende a $ +\infty $ ou $ -\infty $ dependendo da direção de aproximação). O seno de um número que cresce sem limites oscila entre -1 e 1 indefinidamente.
Então, $ \sin\left(\frac{1}{x-3}\right) $ não tem um limite fixo, mas seus valores estão sempre entre -1 e 1:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes:
Sabemos que $ \sqrt[3]{x-3} $ está se aproximando de 0 e $ \sin\left(\frac{1}{x-3}\right) $ está oscilando entre -1 e 1. Quando multiplicamos um número que está indo para 0 por um número que está limitado (nesse caso, entre -1 e 1), o resultado também tende a 0.