Exercício 3. Calcule as seguintes derivadas parciais mistas:
para
Passo 1
O enunciado pede a derivada parcial mista de terceira ordem
para a função
O conteúdo é derivadas parciais de ordem superior, então vamos derivar sucessivamente em
, depois em
e por fim em
, usando as regras de produto, quociente e cadeia.
Passo 2
Separamos
em duas partes:
Primeiro calculamos
.
Para usamos produto e quociente:
$$
Para
$$
f_{1x}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(e{xy}\Bigr)\cdot\frac{1}{xyz}+e{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\Bigl((xyz)^{-1}\Bigr)
= y,e{xy}\frac{1}{xyz}+e{xy}\bigl(-\tfrac{1}{x^2yz}\bigr)
=e{xy}\Bigl(\tfrac{1}{xz}-\tfrac{1}{x2yz}\Bigr).
= y,e{xy}\frac{1}{xyz}+e{xy}\bigl(-\tfrac{1}{x^2yz}\bigr)
=e{xy}\Bigl(\tfrac{1}{xz}-\tfrac{1}{x2yz}\Bigr).
$$
E para
pela regra da cadeia:
Logo
$$
Logo
$$
f_x=e{xy}\Bigl(\tfrac{1}{xz}-\tfrac{1}{x2yz}\Bigr)+\frac{1}{x+y}.
$$
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
para obter
. Escrevemos
onde
e
são constantes em relação a
. Então
Calculando cada termo:
$$(e^{xy})_y=x e^{xy},\quad \frac{\partial}{\partial y}(y{-1}e{xy})=e{xy}\Bigl(-\tfrac{1}{y2}+\tfrac{x}{y}\Bigr).
f_{xy}=e{xy}\Bigl(\tfrac{1}{z}+\tfrac{1}{x2y^2z}-\tfrac{1}{xy z}\Bigr)-\frac{1}{(x+y)^2}.
$$
Passo 4
Por fim diferenciamos
em relação a
para achar
. Note que o termo
não depende de
e some. Para o primeiro termo temos uma função
(constante em
) multiplicando parcelas do tipo
. Assim
Passo 5
Chegamos então à expressão final para a derivada parcial mista de ordem três.