Exercício 3. Calcule as seguintes derivadas parciais mistas:
fx y z para f(x, y, z)=e^x yx y z+ln (x+y)

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial mista de terceira ordem fxyz para a função f(x,y,z)=e^xyxyz+ln(x+y) O conteúdo é derivadas parciais de ordem superior, então vamos derivar sucessivamente em x, depois em y e por fim em z, usando as regras de produto, quociente e cadeia.

Passo 2

Separamos f em duas partes: f1(x,y,z)=e^xy(xyz)^-1, f2(x,y)=ln(x+y) Primeiro calculamos fx=f1x+f2x.
Para f1x usamos produto e quociente:
$$
f_{1x}=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(e{xy}\Bigr)\cdot\frac{1}{xyz}+e{xy}\cdot\frac{\partial}{\partial x}\Bigl((xyz)^{-1}\Bigr)
= y,e{xy}\frac{1}{xyz}+e{xy}\bigl(-\tfrac{1}{x^2yz}\bigr)
=e{xy}\Bigl(\tfrac{1}{xz}-\tfrac{1}{x2yz}\Bigr).
$$
E para f1x=partialpartial xl(e^xyr)cdot1xyz+e^xycdotpartialpartial xl((xyz)^-1r) = y,e^xy1xyz+e^xyl(-tfrac1x^2yzr) =e^xyl(tfrac1xz-tfrac1x^2yzr) pela regra da cadeia: f2x
Logo
$$
f_x=e{xy}\Bigl(\tfrac{1}{xz}-\tfrac{1}{x2yz}\Bigr)+\frac{1}{x+y}.
$$

Passo 3

Agora derivamos fx em relação a y para obter fxy. Escrevemos
fx=e^xyl(A-tfracByr)+1x+y,
onde A=1/(xz) e B=1/(x^2z) são constantes em relação a y. Então
fxy=A,(e^xy)y-B,partialpartial yl(y^-1e^xyr)-1(x+y)^2
Calculando cada termo:
$$(e^{xy})_y=x e^{xy},\quad \frac{\partial}{\partial y}(y{-1}e{xy})=e{xy}\Bigl(-\tfrac{1}{y2}+\tfrac{x}{y}\Bigr).
(e^xy)y=x e^xy, partialpartial y(y^-1e^xy)=e^xyl(-tfrac1y^2+tfracxyr) çã
f_{xy}=e{xy}\Bigl(\tfrac{1}{z}+\tfrac{1}{x2y^2z}-\tfrac{1}{xy z}\Bigr)-\frac{1}{(x+y)^2}.
$$

Passo 4

Por fim diferenciamos fxy em relação a z para achar fxyz. Note que o termo -1/(x+y)^2) não depende de z e some. Para o primeiro termo temos uma função e^xy (constante em z) multiplicando parcelas do tipo 1/z. Assim
fxyz=e^xyddzl(tfrac1z-tfrac1xy,z+tfrac1x^2y^2,zr) =e^xyl(-tfrac1z^2+tfrac1xy,z^2-tfrac1x^2y^2,z^2r)

Passo 5

Chegamos então à expressão final para a derivada parcial mista de ordem três.

Resposta

fxyz(x,y,z)=e^xyl(-1z^2+1xy,z^2-1x^2y^2,z^2r)

Exercícios relacionados