Seja
f(x, y)=e^x cos (y)+ln (5 x+x y)
Obtenha
fy x(x, y)

Passo 1

A questão dá a função
f(x,y)=e^x,cos(y)+ln(5x+x y)
Queremos a derivada mista fyx=partialpartial xl(fyr). O conteúdo aqui é derivadas parciais e aplicação das regras de derivação de exponencial, trigonométrica e logaritmo.

Passo 2

Primeiro calculamos fy=partial fpartial y. Para cada termo:
  • De e^xcos(y), derivando em relação a y vem -e^xsin(y).
  • De ln(5x+xy), usamos ddyln(u)=1u,u'. Aqui u=5x+xy e u'=x, então
fy=-e^xsin(y)+x5x+xy
Como 5x+xy=x(y+5), simplifica para
fy=-e^xsin(y)+1y+5 .

Passo 3

Agora derivamos fy em relação a x:
  • A derivada de -e^xsin(y) em x é -e^xsin(y).
  • A derivada de 1/(y+5) em x é zero, pois não depende de x.
    Portanto
fyx(x,y)=-e^xsin(y)

Resposta

-e^x sin(y)

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