Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
. As informações relevantes são:
- Temos a função numerador
e o denominador . - Queremos o limite quando
se aproxima de .
Não vou resolver ainda; só apontei o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Tento a substituição direta para ver se o limite é imediato. Substituindo
em numerador e denominador:
Logo a forma é
, que é uma indeterminação. Quando isso acontece precisamos manipular a expressão (por exemplo fatorando ou usando outra técnica) antes de avaliar o limite.
Passo 3
Vou explicar a ferramenta que usarei: fatoração de polinômios. Duas identidades úteis:
e, a partir dela, para quarta potência,
Aqui
e
são quaisquer números (ou expressões); aplicar essas fórmulas nos permite escrever um polinômio como produto de fatores, o que frequentemente cancela o fator que causa a indeterminação.
Passo 4
Aplico a fatoração ao numerador
. Note que
, então posso ver
como
. Usando a identidade para diferença de quartas:
Agora fatoro
usando diferença de quadrados:
Portanto, o numerador fatorado é
Passo 5
Substituo essa fatoração na expressão do limite e cancelo o fator comum
. Como estamos calculando limite, é legítimo cancelar fatores enquanto consideramos
:
Agora a expressão simplificada não tem indeterminação em
.
Passo 6
Como a função simplificada é contínua em
, posso avaliar o limite substituindo
:
Passo 7
Faço as contas finais:
Portanto o valor do limite é
. (Observação: poderia também usar a regra de L’Hôpital, que levaria ao mesmo resultado, mas a fatoração é mais direta aqui.)