\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{4}-81}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite \lim_{x\to 3}\frac{x^{4}-81}{x-3}. As informações relevantes são:
  • Temos a função numerador x^{4}-81 e o denominador x-3.
  • Queremos o limite quando x se aproxima de 3.
    Não vou resolver ainda; só apontei o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Tento a substituição direta para ver se o limite é imediato. Substituindo x=3 em numerador e denominador:
\text{numerador} = 3^{4}-81 = 81-81 = 0,
\text{denominador} = 3-3 = 0.
Logo a forma é \frac{0}{0}, que é uma indeterminação. Quando isso acontece precisamos manipular a expressão (por exemplo fatorando ou usando outra técnica) antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vou explicar a ferramenta que usarei: fatoração de polinômios. Duas identidades úteis:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\quad\text{(diferença de quadrados)}ç
e, a partir dela, para quarta potência,
a^{4}-b^{4}=(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}).
Aqui a e b são quaisquer números (ou expressões); aplicar essas fórmulas nos permite escrever um polinômio como produto de fatores, o que frequentemente cancela o fator que causa a indeterminação.

Passo 4

Aplico a fatoração ao numerador x^{4}-81. Note que 81=3^{4}, então posso ver x^{4}-81 como x^{4}-3^{4}. Usando a identidade para diferença de quartas:
x^{4}-3^{4}=(x^{2}-3^{2})(x^{2}+3^{2}).
Agora fatoro x^{2}-3^{2} usando diferença de quadrados:
x^{2}-3^{2}=(x-3)(x+3).
Portanto, o numerador fatorado é
x^{4}-81=(x-3)(x+3)(x^{2}+9).

Passo 5

Substituo essa fatoração na expressão do limite e cancelo o fator comum (x-3). Como estamos calculando limite, é legítimo cancelar fatores enquanto consideramos x\neq 3:
\frac{x^{4}-81}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)(x^{2}+9)}{x-3}=(x+3)(x^{2}+9),\quad x\neq 3.
Agora a expressão simplificada não tem indeterminação em x=3.

Passo 6

Como a função simplificada é contínua em x=3, posso avaliar o limite substituindo x=3:
\lim_{x\to 3}\frac{x^{4}-81}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)(x^{2}+9)=(3+3)(3^{2}+9).

Passo 7

Faço as contas finais:
3+3=6,\qquad 3^{2}+9=9+9=18,
6\cdot 18=108.
Portanto o valor do limite é 108. (Observação: poderia também usar a regra de L’Hôpital, que levaria ao mesmo resultado, mas a fatoração é mais direta aqui.)

Resposta

108

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