Seja Oxyz um sistema de eixos cartesianos com origem em O . Uma partícula de massa
está submetida a forças, sendo que uma delas, a força
(conservativa), é dada pela expressão:
. Sabendo que
, determine:
a) O trabalho realizado pela força
, quando a partícula é deslocada do ponto
ao ponto
ao longo de uma linha reta.
b) O trabalho realizado pela força peso,
, quando a partícula é deslocada ao longo do caminho do item (a).
c) O módulo da velocidade da partícula ao passar pelo ponto
, supondo que o trabalho resultante de todas as forças que atuam nessa partícula, ao longo do caminho do item (a), seja igual ao trabalho da força
mais o trabalho da força peso.
a) O trabalho realizado pela força
b) O trabalho realizado pela força peso,
c) O módulo da velocidade da partícula ao passar pelo ponto
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar o trabalho realizado pela força
quando a partícula vai de até ao longo de uma linha reta. - (b) Determinar o trabalho realizado pela força peso
ao longo do mesmo deslocamento. - (c) Determinar o módulo da velocidade da partícula ao passar por
, supondo que o trabalho resultante de todas as forças seja igual à soma dos trabalhos das forças e .
Informações fornecidas (dados do enunciado):
- Massa:
. - Gravidade:
. - Força conservativa dada:
N (portanto componentes ). - Força peso:
N. - Deslocamento: de
até ao longo de reta. - Não foi fornecida velocidade inicial; adotarei a hipótese standard, explicada depois, para poder calcular a velocidade em (c).
Passo 2
Calcular o vetor deslocamento
do ponto
para
.
Como
, temos
Isso significa que a partícula se deslocou
em
,
em
e
em
.
Passo 3
Explicar a definição de trabalho para força constante e aplicar à força
.
Conceito / fórmula: para uma força constante
que atua ao longo de um deslocamento
, o trabalho é dado pelo produto escalar (dot product)
O produto escalar entre dois vetores
e
é
. Ele resume a ideia de quanto da força “aponta” na direção do deslocamento.
Aplicando ao caso:
Logo
Interpretação rápida: a força tem componentes que ajudam o deslocamento em
e
(ou seja, produto positivo), e não faz trabalho em
porque seu componente
é zero.
Passo 4
Calcular o trabalho da força peso
.
Primeiro calculemos
. Como
e
,
,
Usamos novamente o produto escalar com o deslocamento
:
Regra alternativa (mais intuitiva): o trabalho da gravidade depende só da variação vertical
:
mesmo resultado.
Passo 5
Explicar o teorema trabalho-energia e a hipótese sobre velocidade inicial.
Teorema trabalho-energia: o trabalho resultante (líquido) realizado sobre uma partícula é igual à variação de sua energia cinética:
onde
é a velocidade inicial e
a velocidade final.
O enunciado não dá
. Em muitos exercícios padrão, quando não se informa velocidade inicial e pede-se a velocidade ao atingir
, assume-se que a partícula parte do repouso em
. Vou adotar essa hipótese aqui (se na prova houver informação diferente, substituir
pelo valor dado). Assim assumimos
Passo 6
Calcular o trabalho resultante e ligar com a variação de energia cinética.
O trabalho resultante, pelas hipóteses do enunciado, é a soma dos trabalhos das forças que atuam (aqui consideradas apenas
e
):
Pelo teorema trabalho-energia com
,
Passo 7
Isolar
e calcular numericamente.
Da equação anterior,
Portanto
Para dar um valor numérico aproximado: note que
, então
. Como
e
, temos
Arredondando sensivelmente,
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)