Seja Oxyz um sistema de eixos cartesianos com origem em O . Uma partícula de massa m=0,1 \mathrm{~kg} está submetida a forças, sendo que uma delas, a força \mathbf{F} (conservativa), é dada pela expressão: \mathbf{F}=-7 \hat{\imath}+6 \hat{\jmath}[\mathrm{~N}]. Sabendo que g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine:
a) O trabalho realizado pela força \mathbf{F}, quando a partícula é deslocada do ponto \mathrm{O}= (0,0,0) ao ponto \mathrm{Q}=(-3,4,16) ao longo de uma linha reta.
b) O trabalho realizado pela força peso, \mathbf{P}=(0,0,-m g)[\mathrm{N}], quando a partícula é deslocada ao longo do caminho do item (a).
c) O módulo da velocidade da partícula ao passar pelo ponto Q, supondo que o trabalho resultante de todas as forças que atuam nessa partícula, ao longo do caminho do item (a), seja igual ao trabalho da força \mathbf{F} mais o trabalho da força peso.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar o trabalho realizado pela força \mathbf{F} quando a partícula vai de O=(0,0,0) até Q=(-3,4,16) ao longo de uma linha reta.
  • (b) Determinar o trabalho realizado pela força peso \mathbf{P}=(0,0,-m g) ao longo do mesmo deslocamento.
  • (c) Determinar o módulo da velocidade da partícula ao passar por Q, supondo que o trabalho resultante de todas as forças seja igual à soma dos trabalhos das forças \mathbf{F} e \mathbf{P}.
Informações fornecidas (dados do enunciado):
  • Massa: m=0{,}1\\ \mathrm{kg}.
  • Gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Força conservativa dada: \mathbf{F}=-7\hat{\imath}+6\hat{\jmath} N (portanto componentes -7,\,6,\,0).
  • Força peso: \mathbf{P}=(0,0,-m g) N.
  • Deslocamento: de O=(0,0,0) até Q=(-3,4,16) ao longo de reta.
  • Não foi fornecida velocidade inicial; adotarei a hipótese standard, explicada depois, para poder calcular a velocidade em (c).

Passo 2

Calcular o vetor deslocamento \Delta \mathbf{r} do ponto O para Q.
Como \Delta \mathbf{r}=\mathbf{r}_Q-\mathbf{r}_O, temos
\Delta \mathbf{r}=(-3,\,4,\,16)-(0,\,0,\,0)=(-3,\,4,\,16).
Isso significa que a partícula se deslocou -3 em x, +4 em y e +16 em z.

Passo 3

Explicar a definição de trabalho para força constante e aplicar à força \mathbf{F}.
Conceito / fórmula: para uma força constante \mathbf{F} que atua ao longo de um deslocamento \Delta \mathbf{r}, o trabalho é dado pelo produto escalar (dot product)
W_{\mathbf{F}}=\mathbf{F}\cdot\Delta \mathbf{r}.
O produto escalar entre dois vetores (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) é a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. Ele resume a ideia de quanto da força “aponta” na direção do deslocamento.
Aplicando ao caso:
\mathbf{F}=(-7,\,6,\,0),\qquad \Delta\mathbf{r}=(-3,\,4,\,16).
Logo
W_{\mathbf{F}}=(-7)(-3)+6\cdot 4+0\cdot 16=21+24+0=45\\ \mathrm{J}.
Interpretação rápida: a força tem componentes que ajudam o deslocamento em x e y (ou seja, produto positivo), e não faz trabalho em z porque seu componente z é zero.

Passo 4

Calcular o trabalho da força peso \mathbf{P}.
Primeiro calculemos \mathbf{P}. Como \mathbf{P}=(0,0,-m g) e m=0{,}1, g=10,
\mathbf{P}=(0,\,0,-0{,}1\cdot 10)=(0,\,0,-1)\\ \mathrm{N}.
Usamos novamente o produto escalar com o deslocamento \Delta\mathbf{r}=(-3,4,16):
W_{\mathbf{P}}=\mathbf{P}\cdot\Delta\mathbf{r}=0\cdot(-3)+0\cdot 4+(-1)\cdot 16=-16\\ \mathrm{J}.
Regra alternativa (mais intuitiva): o trabalho da gravidade depende só da variação vertical \Delta z:
W_{\mathbf{P}}=-m g\,\Delta z=-0{,}1\cdot 10\cdot 16=-16\\ \mathrm{J},
mesmo resultado.

Passo 5

Explicar o teorema trabalho-energia e a hipótese sobre velocidade inicial.
Teorema trabalho-energia: o trabalho resultante (líquido) realizado sobre uma partícula é igual à variação de sua energia cinética:
W_{\text{res}}=\Delta K=\frac{1}{2}m v^{2}-\frac{1}{2}m v_{0}^{2},
onde v_{0} é a velocidade inicial e v a velocidade final.
O enunciado não dá v_{0}. Em muitos exercícios padrão, quando não se informa velocidade inicial e pede-se a velocidade ao atingir Q, assume-se que a partícula parte do repouso em O. Vou adotar essa hipótese aqui (se na prova houver informação diferente, substituir v_{0} pelo valor dado). Assim assumimos
v_{0}=0\quad\Rightarrow\quad \Delta K=\frac{1}{2}m v^{2}.

Passo 6

Calcular o trabalho resultante e ligar com a variação de energia cinética.
O trabalho resultante, pelas hipóteses do enunciado, é a soma dos trabalhos das forças que atuam (aqui consideradas apenas \mathbf{F} e \mathbf{P}):
W_{\text{res}}=W_{\mathbf{F}}+W_{\mathbf{P}}=45+(-16)=29\\ \mathrm{J}.
Pelo teorema trabalho-energia com v_{0}=0,
\frac{1}{2}m v^{2}=29.

Passo 7

Isolar v e calcular numericamente.
Da equação anterior,
v^{2}=\frac{2\cdot 29}{m}=\frac{58}{0{,}1}=580.
Portanto
v=\sqrt{580}.
Para dar um valor numérico aproximado: note que 580=4\cdot 145, então \sqrt{580}=2\sqrt{145}. Como \sqrt{144}=12 e \sqrt{145}\approx 12{,}041, temos
v\approx 2\cdot 12{,}041\approx 24{,}08\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando sensivelmente, v\approx 24{,}1\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) W_{\mathbf{F}}=45\\ \mathrm{J}
(b) W_{\mathbf{P}}=-16\\ \mathrm{J}
(c) v\approx 24{,}1\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados