\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{a}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{a}-1}{x}.
O conteúdo necessário é reconhecer que essa expressão é o quociente de diferença de f(x)=(1+x)^{a} em x=0, ou então usar a expansão binomial em série de Taylor.

Passo 2

Pela definição de derivada, temos
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{a}-1}{x} = f'(0),
onde f(x)=(1+x)^{a}. Calculando a derivada,
f'(x)=a\,(1+x)^{a-1}.
Substituindo x=0,
f'(0)=a\,(1+0)^{a-1}=a.

Resposta

\displaystyle a

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