\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{a^{x} - 1}{x}.
Observe que esse limite é exatamente a definição da derivada de f(x)=a^x no ponto x=0. Para prosseguir, vamos usar a representação
a^x = e^{x\ln(a)}.

Passo 2

Definindo f(x)=e^{x\ln(a)}, temos pela regra da cadeia
f'(x) = e^{x\ln(a)}\cdot \ln(a).
Logo,
f'(0) = e^{0\cdot \ln(a)}\cdot \ln(a) = 1\cdot \ln(a) = \ln(a).

Resposta

\ln(a)

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