\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log _{a}(1+x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\log_{a}(1+x)}{x}.
Aqui vamos precisar da propriedade de mudança de base de logaritmo e do limite fundamental \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.

Passo 2

Aplicamos a mudança de base em \log_{a}(1+x):
\log_{a}(1+x)=\frac{\ln(1+x)}{\ln(a)}.
Logo,
\frac{\log_{a}(1+x)}{x} =\frac{1}{\ln(a)}\;\frac{\ln(1+x)}{x}.

Passo 3

Usamos o limite fundamental da função logarítmica natural:
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Portanto,
\lim_{x\to 0}\frac{\log_{a}(1+x)}{x} =\frac{1}{\ln(a)}\times 1.

Resposta

\boxed{\frac{1}{\ln(a)}}

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