\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{cosh} x-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{cosh} x - 1}{x}
O conteúdo principal aqui é identificar uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} e aplicar a Regra de L’Hôpital (ou usar expansão em série de Taylor) para resolvê-la.

Passo 2

Verificamos a forma da expressão quando x\to 0: \operatorname{cosh} 0 = 1, logo o numerador \operatorname{cosh} x - 1 tende a 0, e o denominador x tende a 0.
Portanto temos a indeterminação \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
– derivada de \operatorname{cosh} x - 1 é \operatorname{sinh} x,
– derivada de x é 1.
Assim,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{cosh} x - 1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sinh} x}{1} = \lim_{x\to 0}\operatorname{sinh} x.

Passo 4

Basta agora avaliar \operatorname{sinh} x em x=0. Como \operatorname{sinh} 0=0, concluímos que
\lim_{x\to 0}\operatorname{sinh} x = 0.

Resposta

0

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