Passo 1
O que o problema pede: calcular o valor do limite
Informações dadas: temos um quociente de polinômios em
; o numerador é
e o denominador é
. Queremos o comportamento dessa fração quando
cresce sem limite, ou seja,
.
Passo 2
Ideia geral (explicada passo a passo): quando
tende a
, termos como
,
,
vão para
. Para comparar crescimento, olhamos os graus (potências) de
no numerador e no denominador: o numerador tem grau
e o denominador tem grau
. Isso sugere que o numerador cresce mais rápido que o denominador e o quociente deve divergir em módulo. Vamos transformar a expressão dividindo numerador e denominador por
(a maior potência presente no denominador), para escrever a fração em termos de quantidades que têm limites fáceis de avaliar.
Passo 3
Dividimos numerador e denominador por
. Escrevendo isso em bloco:
Observe que toda essa manipulação é apenas dividir numerador e denominador pelo mesmo número não nulo
, o que não altera o valor da fração para
. Agora analisamos o limite de cada termo quando
.
Passo 4
Limites dos termos pequenos: como
temos
Esses resultados vêm da propriedade básica de que
quando
e
.
Passo 5
Agora usando as leis de limite (o limite da soma é soma dos limites quando existem, e produto por constante etc.), analisamos numerador e denominador da forma reescrita:
- Numerador:
. O termo dominante é , e os outros tendem a . Portanto o numerador tende a quando :
- Denominador:
. Como , o denominador tende a :
Passo 6
Combinação final: temos uma fração cujo numerador tende a
e cujo denominador tende a
(um número finito não nulo). Quando o numerador cresce sem limite em sinal positivo e o denominador aproxima-se de um número negativo, a razão cresce sem limite em sinal negativo. Em termos simbólicos:
Ou, mais intuitivamente, para
grande positivo a fração é aproximadamente
, que tende a
.