\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{3}-2 x+3}{5-x^{2}}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{3}-2x+3}{5-x^{2}}.
Informações dadas: temos um quociente de polinômios em x; o numerador é \,x^{3}-2x+3 e o denominador é \,5-x^{2}. Queremos o comportamento dessa fração quando x cresce sem limite, ou seja, x\to+\infty.

Passo 2

Ideia geral (explicada passo a passo): quando x tende a +\infty, termos como 1/x, 1/x^{2}, 1/x^{3} vão para 0. Para comparar crescimento, olhamos os graus (potências) de x no numerador e no denominador: o numerador tem grau 3 e o denominador tem grau 2. Isso sugere que o numerador cresce mais rápido que o denominador e o quociente deve divergir em módulo. Vamos transformar a expressão dividindo numerador e denominador por x^{2} (a maior potência presente no denominador), para escrever a fração em termos de quantidades que têm limites fáceis de avaliar.

Passo 3

Dividimos numerador e denominador por x^{2}. Escrevendo isso em bloco:
\frac{x^{3}-2x+3}{5-x^{2}} = \frac{\dfrac{x^{3}}{x^{2}}-\dfrac{2x}{x^{2}}+\dfrac{3}{x^{2}}}{\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{x^{2}}{x^{2}}} = \frac{x-\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}}{\dfrac{5}{x^{2}}-1}.
Observe que toda essa manipulação é apenas dividir numerador e denominador pelo mesmo número não nulo x^{2}, o que não altera o valor da fração para x\neq0. Agora analisamos o limite de cada termo quando x\to+\infty.

Passo 4

Limites dos termos pequenos: como x\to+\infty temos
\frac{2}{x}\to 0,\qquad \frac{3}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{5}{x^{2}}\to 0.
Esses resultados vêm da propriedade básica de que 1/x^{p}\to 0 quando p>0 e x\to+\infty.

Passo 5

Agora usando as leis de limite (o limite da soma é soma dos limites quando existem, e produto por constante etc.), analisamos numerador e denominador da forma reescrita:
  • Numerador: \displaystyle x-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}. O termo dominante é \,x, e os outros tendem a 0. Portanto o numerador tende a +\infty quando x\to+\infty:
x-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\longrightarrow +\infty.
  • Denominador: \displaystyle \frac{5}{x^{2}}-1. Como \frac{5}{x^{2}}\to0, o denominador tende a -1:
\frac{5}{x^{2}}-1\longrightarrow -1.

Passo 6

Combinação final: temos uma fração cujo numerador tende a +\infty e cujo denominador tende a -1 (um número finito não nulo). Quando o numerador cresce sem limite em sinal positivo e o denominador aproxima-se de um número negativo, a razão cresce sem limite em sinal negativo. Em termos simbólicos:
\frac{\text{numerador}\to +\infty}{\text{denominador}\to -1} \Longrightarrow \text{quociente}\to -\infty.
Ou, mais intuitivamente, para x grande positivo a fração é aproximadamente \dfrac{x}{-1}=-x, que tende a -\infty.

Resposta

-\infty

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