\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{3}+3 x^{2} \cos x}{(x+2)^{3}}.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{3}+3x^{2}\cos x}{(x+2)^{3}}.
Aqui o conteúdo principal é limite de função racional em que o grau do numerador e do denominador é o mesmo.

Passo 2

Para simplificar, dividimos numerador e denominador por x^{3}:
\frac{2x^{3}+3x^{2}\cos x}{(x+2)^{3}} = \frac{x^{3}\bigl(2 + \tfrac{3\cos x}{x}\bigr)}{x^{3}\bigl(1 + \tfrac{2}{x}\bigr)^{3}} = \frac{2 + \dfrac{3\cos x}{x}}{\bigl(1 + \tfrac{2}{x}\bigr)^{3}}.

Passo 3

Agora, ao fazermos x\to\infty, temos
\tfrac{3\cos x}{x}\to 0 porque \cos x é limitado em [-1,1], e
\tfrac{2}{x}\to 0. Assim o numerador tende a 2 e o denominador tende a 1^{3}=1.

Passo 4

Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{3}+3x^{2}\cos x}{(x+2)^{3}} = \frac{2}{1} = 2.

Resposta

2

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