\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x}{e^{\frac{1}{x}}-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{a x}{e^{\frac{1}{x}}-1},
onde a é uma constante (foi isso que o enunciado deu). A pergunta é o valor desse limite quando x se aproxima de 0 (limite bilateral). Observação importante: como a expressão envolve \frac{1}{x}, o comportamento pode ser diferente quando x se aproxima de 0 pela direita ( x\to0^+) ou pela esquerda ( x\to0^-). Portanto, é natural calcular os limites laterais e comparar.

Passo 2

Calculando o limite pela direita, isto é \displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{a x}{e^{\frac{1}{x}}-1}.
Fazendo a substituição t=\frac{1}{x}. Quando x\to0^+ temos t\to+\infty. A expressão vira
\frac{a x}{e^{\frac{1}{x}}-1} = \frac{a\cdot\frac{1}{t}}{e^{t}-1} = \frac{a}{t\,(e^{t}-1)}.
Agora raciocínio sobre o fator t(e^{t}-1): para t\to+\infty a função exponencial e^{t} cresce muito mais rápido que qualquer polinômio (por exemplo que t). Uma maneira rápida e segura de ver isso é aplicar a regra de L’Hôpital ao quociente \dfrac{t}{e^{t}}:
\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{e^{t}}=\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{e^{t}}=0.
Isto implica que t e^{t}\to+\infty e, portanto, t(e^{t}-1)\to+\infty. Assim
\lim_{t\to+\infty}\frac{a}{t(e^{t}-1)}=0.
Logo
\lim_{x\to0^+}\frac{a x}{e^{\frac{1}{x}}-1}=0.

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda, isto é \displaystyle\lim_{x\to0^-}\frac{a x}{e^{\frac{1}{x}}-1}.
Quando x\to0^- temos \frac{1}{x}\to-\infty. Então e^{\frac{1}{x}}\to 0. Portanto o denominador tende a
e^{\frac{1}{x}}-1 \to 0-1 = -1.
O numerador a x tende para 0 (porque x\to0 e a é constante). Quando o numerador vai para 0 e o denominador tende para -1 (um número finito e não nulo), o quociente tende para 0. Formalmente,
\lim_{x\to0^-}\frac{a x}{e^{\frac{1}{x}}-1} =\frac{a\cdot 0}{-1}=0.

Passo 4

Como os dois limites laterais coincidem:
\lim_{x\to0^+}\frac{a x}{e^{\frac{1}{x}}-1}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0^-}\frac{a x}{e^{\frac{1}{x}}-1}=0,
podemos concluir que o limite bilateral existe e vale 0.

Passo 5

Dica rápida pra prova (resumindo o raciocínio que fizemos): sempre que houver \frac{1}{x} em uma exponencial é útil verificar os dois lados. Para x>0 a exponencial explode e domina o numerador (use substituição t=1/x ou L’Hôpital se precisar); para x<0 a exponencial tende a zero e o denominador tende a -1, então o quociente tende a 0. Isso serve como receita prática para limites parecidos. Força — você tá indo bem!

Resposta

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