Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
onde
é uma constante (foi isso que o enunciado deu). A pergunta é o valor desse limite quando
se aproxima de
(limite bilateral). Observação importante: como a expressão envolve
, o comportamento pode ser diferente quando
se aproxima de
pela direita (
) ou pela esquerda (
). Portanto, é natural calcular os limites laterais e comparar.
Passo 2
Calculando o limite pela direita, isto é
.
Fazendo a substituição
. Quando
temos
. A expressão vira
Agora raciocínio sobre o fator
: para
a função exponencial
cresce muito mais rápido que qualquer polinômio (por exemplo que
). Uma maneira rápida e segura de ver isso é aplicar a regra de L’Hôpital ao quociente
:
Isto implica que
e, portanto,
. Assim
Logo
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda, isto é
.
Quando
temos
. Então
. Portanto o denominador tende a
O numerador
tende para
(porque
e
é constante). Quando o numerador vai para
e o denominador tende para
(um número finito e não nulo), o quociente tende para
. Formalmente,
Passo 4
Como os dois limites laterais coincidem:
podemos concluir que o limite bilateral existe e vale
.
Passo 5
Dica rápida pra prova (resumindo o raciocínio que fizemos): sempre que houver
em uma exponencial é útil verificar os dois lados. Para
a exponencial explode e domina o numerador (use substituição
ou L’Hôpital se precisar); para
a exponencial tende a zero e o denominador tende a
, então o quociente tende a
. Isso serve como receita prática para limites parecidos. Força — você tá indo bem!