Exercício 45. Usando a fórmula da questão 32, resolva os itens a seguir.
a) Verifique que (1+\operatorname{tg} k)\left(1+\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right)\right)=2.
b) Dado que
a e b são ângulos quaisquer (podem estar em graus ou radianos, desde que se use a mesma unidade).
\operatorname{tg}a é a tangente do ângulo a e \operatorname{tg}b a tangente do ângulo b.
O lado direito é uma razão que combina \operatorname{tg}a e \operatorname{tg}b para dar a tangente da diferença a-b.
Esta fórmula é derivada a partir das fórmulas de seno e cosseno para soma/diferença, mas aqui vamos usá-la diretamente (é uma identidade padrão de trigonometria). Em particular, tomaremos a=45^{\circ} e b=k.
Passo 3
Aplicar a fórmula com a=45^{\circ} e b=k. Como \operatorname{tg}45^{\circ}=1, temos
A ideia é usar o emparelhamento k com 45^{\circ}-k. Observe que para cada k com 1^{\circ}\le k\le 44^{\circ} existe o parceiro 45^{\circ}-k também entre 1^{\circ} e 44^{\circ}, e pela identidade do item (a) o produto desses dois fatores vale 2:
Contagem das pares: os ângulos inteiros de 1^{\circ} a 44^{\circ} são 44 números. Eles se agrupam em pares \{k,\,45^{\circ}-k\}. Para evitar duplicação, podemos escolher apenas k=1^{\circ},2^{\circ},\dots,22^{\circ}; esses 22 valores geram os 22 pares que cobrem todos os inteiros de 1^{\circ} a 44^{\circ}. Cada par contribui com um fator 2 ao produto total. Portanto o produto dos fatores para k=1^{\circ} até k=44^{\circ} vale 2^{22}.
Falta ainda o fator correspondente a 45^{\circ}, que não foi emparelhado. Calculamos esse fator isoladamente: