Exercício 45. Usando a fórmula da questão 32, resolva os itens a seguir.
a) Verifique que (1+\operatorname{tg} k)\left(1+\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right)\right)=2.
b) Dado que
\left(1+\operatorname{tg} 1^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg} 2^{\circ}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1+\operatorname{tg} 45^{\circ}\right)=2^{n}
calcule n.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Verificar a identidade \,(1+\operatorname{tg} k)\left(1+\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right)\right)=2 para um ângulo genérico k.
  • (b) Dado que
\left(1+\operatorname{tg} 1^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg} 2^{\circ}\right)\cdots\left(1+\operatorname{tg} 45^{\circ}\right)=2^{n},
determinar o expoente n.
Informações relevantes que vamos usar (todas fornecidas ou diretamente conhecidas sobre tangente):
  • A fórmula da tangente da diferença de dois ângulos:
\operatorname{tg}(a-b)=\frac{\operatorname{tg}a-\operatorname{tg}b}{1+\operatorname{tg}a\operatorname{tg}b}.
  • O valor \operatorname{tg}45^{\circ}=1.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar a fórmula da diferença de ângulos para a tangente e o que cada símbolo significa.
A fórmula
\operatorname{tg}(a-b)=\frac{\operatorname{tg}a-\operatorname{tg}b}{1+\operatorname{tg}a\operatorname{tg}b}
diz o seguinte:
  • a e b são ângulos quaisquer (podem estar em graus ou radianos, desde que se use a mesma unidade).
  • \operatorname{tg}a é a tangente do ângulo a e \operatorname{tg}b a tangente do ângulo b.
  • O lado direito é uma razão que combina \operatorname{tg}a e \operatorname{tg}b para dar a tangente da diferença a-b.
Esta fórmula é derivada a partir das fórmulas de seno e cosseno para soma/diferença, mas aqui vamos usá-la diretamente (é uma identidade padrão de trigonometria). Em particular, tomaremos a=45^{\circ} e b=k.

Passo 3

Aplicar a fórmula com a=45^{\circ} e b=k. Como \operatorname{tg}45^{\circ}=1, temos
\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right)=\frac{\operatorname{tg}45^{\circ}-\operatorname{tg}k}{1+\operatorname{tg}45^{\circ}\operatorname{tg}k}=\frac{1-\operatorname{tg}k}{1+\operatorname{tg}k}.
Isso é uma forma muito útil: escreve \operatorname{tg}(45^{\circ}-k) explicitamente em termos de \operatorname{tg}k.

Passo 4

A partir da expressão obtida, calculemos 1+\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right). Substituindo:
1+\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right)=1+\frac{1-\operatorname{tg}k}{1+\operatorname{tg}k}.
Para somar os termos, colocamos sobre o mesmo denominador 1+\operatorname{tg}k:
1+\frac{1-\operatorname{tg}k}{1+\operatorname{tg}k}=\frac{1+\operatorname{tg}k}{1+\operatorname{tg}k}+\frac{1-\operatorname{tg}k}{1+\operatorname{tg}k}=\frac{(1+\operatorname{tg}k)+(1-\operatorname{tg}k)}{1+\operatorname{tg}k}.
O numerador simplifica porque (1+\operatorname{tg}k)+(1-\operatorname{tg}k)=2. Assim
1+\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right)=\frac{2}{1+\operatorname{tg}k}.

Passo 5

Agora multiplica-se 1+\operatorname{tg}k por 1+\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right):
(1+\operatorname{tg}k)\left(1+\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right)\right)=(1+\operatorname{tg}k)\cdot\frac{2}{1+\operatorname{tg}k}=2.
Isso completa a verificação da identidade pedida no item (a).

Passo 6

Agora vamos ao item (b). Temos o produto
P=\left(1+\operatorname{tg} 1^{\circ}\right)\left(1+\operatorname{tg} 2^{\circ}\right)\cdots\left(1+\operatorname{tg} 45^{\circ}\right).
A ideia é usar o emparelhamento k com 45^{\circ}-k. Observe que para cada k com 1^{\circ}\le k\le 44^{\circ} existe o parceiro 45^{\circ}-k também entre 1^{\circ} e 44^{\circ}, e pela identidade do item (a) o produto desses dois fatores vale 2:
(1+\operatorname{tg}k)\left(1+\operatorname{tg}\left(45^{\circ}-k\right)\right)=2.

Passo 7

Contagem das pares: os ângulos inteiros de 1^{\circ} a 44^{\circ} são 44 números. Eles se agrupam em pares \{k,\,45^{\circ}-k\}. Para evitar duplicação, podemos escolher apenas k=1^{\circ},2^{\circ},\dots,22^{\circ}; esses 22 valores geram os 22 pares que cobrem todos os inteiros de 1^{\circ} a 44^{\circ}. Cada par contribui com um fator 2 ao produto total. Portanto o produto dos fatores para k=1^{\circ} até k=44^{\circ} vale 2^{22}.
Falta ainda o fator correspondente a 45^{\circ}, que não foi emparelhado. Calculamos esse fator isoladamente:
1+\operatorname{tg}45^{\circ}=1+1=2.

Passo 8

Multiplicando tudo:
P= \underbrace{2\cdot 2\cdots 2}_{22\\ \text{pares}}\times 2 = 2^{22}\times 2 = 2^{23}.
Portanto o produto é uma potência de 2 com expoente 23.

Resposta

n=23

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