\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-3}{x^{2}-5 x+6}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \to 3} \frac{x-3}{x^{2}-5x+6},
que é um limite de função racional. Para resolver, vamos fatorar o denominador, simplificar a expressão e então aplicar propriedades de continuidade.

Passo 2

Fatoramos o polinômio do denominador. Observamos que
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3).

Passo 3

Substituindo na fração, obtemos
\frac{x-3}{x^{2}-5x+6} = \frac{x-3}{(x-2)(x-3)}.
Para x \neq 3, podemos cancelar o fator (x-3), ficando a função equivalente
g(x) = \frac{1}{x-2}.

Passo 4

Como g(x)=1/(x-2) é contínua em x=3, o limite de g(x) quando x tende a 3 é simplesmente
g(3) = \frac{1}{3-2} = 1.
Portanto, o limite original também vale 1.

Resposta

1

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