(1 pt.) Determine (dê o domínio, o contradomínio e a lei de composição), se possível (se não for, explique):
, se
e
;
Passo 1
O enunciado dá duas funções:
-
. -
.
O que se pede para
:
- o domínio de
; - o contradomínio de
; - a lei de composição
.
Passo 2
Entender domínio e contradomínio de cada função separadamente.
Domínio de
: a função
exige que o argumento do logaritmo seja positivo. Isso significa
Resolvendo, obtemos
Portanto o domínio natural de
é
.
Contradomínio (escolha natural) de
: o logaritmo natural assume todos os valores reais, logo o contradomínio natural de
é
.
Domínio de
:
é um polinômio, definido para todo
. Logo o domínio natural de
é
.
Contradomínio (escolha natural) de
: podemos tomar o contradomínio natural como
, embora a imagem real de
seja um subconjunto de
(vamos calcular depois).
Passo 3
Regra geral para domínio da composição: para
, o domínio é
Aqui
e
. Como
sempre produz um número real (isto é,
para todo
), não há restrição extra além de
. Portanto o domínio de
é
Passo 4
Contradomínio (codomain) natural de
: a composição
toma valores em tudo que
pode tomar quando a entrada percorre a imagem de
. Como o contradomínio natural de
foi escolhido como
, um candidato natural para o contradomínio de
também é
. (Observação: o contradomínio é uma escolha; a imagem efetiva será um subconjunto de
, que vamos identificar a seguir.)
Passo 5
Lei de composição (fórmula): por definição
Substituindo
em
, obtemos
Esta é a expressão que dá o valor de
para cada
do domínio.
Passo 6
Calcular a imagem (intervalo de valores) de
— útil para ver o comportamento real da composição.
Primeiro, a imagem de
é
(pois
atinge todos os reais). Agora, considerar
para
. Podemos escrever completando quadrado:
Como
para todo
, segue que
com igualdade quando
. Logo a imagem de
(para entradas em
) é o intervalo
. Como
atinge todos os
, a imagem de
também é
.
Resposta
Domínio:
Contradomínio (natural):
Lei de composição:
Contradomínio (natural):
Lei de composição: