(1 pt.) Determine (dê o domínio, o contradomínio e a lei de composição), se possível (se não for, explique):
f \circ g, se f(x)=2 x^{2}-1 e g(x)=\ln (x+1);

Passo 1

O enunciado dá duas funções:
  • f(x)=2x^{2}-1.
  • g(x)=\ln(x+1).
O que se pede para f\circ g:
  • o domínio de f\circ g;
  • o contradomínio de f\circ g;
  • a lei de composição (f\circ g)(x).

Passo 2

Entender domínio e contradomínio de cada função separadamente.
Domínio de g: a função g(x)=\ln(x+1) exige que o argumento do logaritmo seja positivo. Isso significa
x+1>0.
Resolvendo, obtemos
x>-1.
Portanto o domínio natural de g é (-1,\infty).
Contradomínio (escolha natural) de g: o logaritmo natural assume todos os valores reais, logo o contradomínio natural de g é \mathbb{R}.
Domínio de f: f(x)=2x^{2}-1 é um polinômio, definido para todo x\in\mathbb{R}. Logo o domínio natural de f é \mathbb{R}.
Contradomínio (escolha natural) de f: podemos tomar o contradomínio natural como \mathbb{R}, embora a imagem real de f seja um subconjunto de \mathbb{R} (vamos calcular depois).

Passo 3

Regra geral para domínio da composição: para (f\circ g)(x)=f(g(x)), o domínio é
\{x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{Dom}(f)\}.
Aqui \operatorname{Dom}(g)=(-1,\infty) e \operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}. Como g(x) sempre produz um número real (isto é, g(x)\in\mathbb{R} para todo x\in(-1,\infty)), não há restrição extra além de x\in(-1,\infty). Portanto o domínio de f\circ g é
(-1,\infty).

Passo 4

Contradomínio (codomain) natural de f\circ g: a composição f\circ g toma valores em tudo que f pode tomar quando a entrada percorre a imagem de g. Como o contradomínio natural de f foi escolhido como \mathbb{R}, um candidato natural para o contradomínio de f\circ g também é \mathbb{R}. (Observação: o contradomínio é uma escolha; a imagem efetiva será um subconjunto de \mathbb{R}, que vamos identificar a seguir.)

Passo 5

Lei de composição (fórmula): por definição
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Substituindo g(x)=\ln(x+1) em f, obtemos
(f\circ g)(x)=2\bigl(\ln(x+1)\bigr)^{2}-1.
Esta é a expressão que dá o valor de f\circ g para cada x do domínio.

Passo 6

Calcular a imagem (intervalo de valores) de f\circ g — útil para ver o comportamento real da composição.
Primeiro, a imagem de g é \mathbb{R} (pois \ln atinge todos os reais). Agora, considerar f(y)=2y^{2}-1 para y\in\mathbb{R}. Podemos escrever completando quadrado:
2y^{2}-1=2\bigl(y^{2}\bigr)-1=2\bigl(y-0\bigr)^{2}-1.
Como \bigl(y-0\bigr)^{2}\ge 0 para todo y, segue que
2y^{2}-1\ge -1,
com igualdade quando y=0. Logo a imagem de f (para entradas em \mathbb{R}) é o intervalo [-1,\infty). Como g atinge todos os y\in\mathbb{R}, a imagem de f\circ g também é [-1,\infty).

Resposta

Domínio: (-1,\infty)
Contradomínio (natural): \mathbb{R}
Lei de composição: (f\circ g)(x)=2\bigl(\ln(x+1)\bigr)^{2}-1

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