\lim_{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{x}}{(x-3)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x}}{(x-3)^{2}}.
O conteúdo aqui é análise de limites que resultam em divergência (infinito). Vamos precisar verificar o comportamento do numerador e do denominador separadamente ao nos aproximarmos de x=3, e depois discutir o sinal da fração.

Passo 2

Analisando o numerador: a função \sqrt{x} é contínua em x=3, portanto
\lim_{x\to3}\sqrt{x} \;=\;\sqrt{3},
que é um número positivo e finito.

Passo 3

Analisando o denominador: a função (x-3)^{2} também é contínua em x=3 e satisfaz
\lim_{x\to3}(x-3)^{2} \;=\;0.
Além disso, para x\neq3 suficientemente perto de 3, (x-3)^{2}>0.

Passo 4

Como o numerador tende a \sqrt{3}\neq0 (positivo) e o denominador tende a zero por valores positivos, a razão
\frac{\sqrt{x}}{(x-3)^{2}}
fica cada vez maior sem limite. Portanto o limite diverge para +\infty.

Resposta

\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{x}}{(x-3)^{2}} = +\infty.

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