\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}+2 x}{x^{3}-2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^3+2x}{x^3-2x+1}.
O conteúdo é limites de funções racionais e precisaremos usar fatoração e análise de limites laterais.

Passo 2

Tentamos substituição direta em x=1:
numerador 1^3+2\cdot1=3
denominador 1^3-2\cdot1+1=0
Como o denominador anula e o numerador não, há divergência e precisamos refinar a análise.

Passo 3

Fatoramos o denominador:
x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)

Passo 4

Note que o numerador em x=1 não anula, logo tende a 3.
Para x próximo de 1, a expressão vale aproximadamente
\frac{3}{(x-1)\cdot(x^2+x-1)\big|_{x=1}} =\frac{3}{(x-1)\cdot1} =\frac{3}{x-1}.

Passo 5

Analisamos os limites laterais:
Para x\to1^+, x-1>0 e \tfrac{3}{x-1}\to+\infty.
Para x\to1^-, x-1<0 e \tfrac{3}{x-1}\to-\infty.
Como as duas direções divergem com sinais opostos, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^3+2x}{x^3-2x+1} não existe, pois tende a +\infty pela direita e a -\infty pela esquerda.

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