O enunciado pede calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^3+2x}{x^3-2x+1}.
O conteúdo é limites de funções racionais e precisaremos usar fatoração e análise de limites laterais.
Passo 2
Tentamos substituição direta em x=1:
numerador 1^3+2\cdot1=3
denominador 1^3-2\cdot1+1=0
Como o denominador anula e o numerador não, há divergência e precisamos refinar a análise.
Passo 3
Fatoramos o denominador:
x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)
Passo 4
Note que o numerador em x=1 não anula, logo tende a 3.
Para x próximo de 1, a expressão vale aproximadamente
Analisamos os limites laterais:
Para x\to1^+, x-1>0 e \tfrac{3}{x-1}\to+\infty.
Para x\to1^-, x-1<0 e \tfrac{3}{x-1}\to-\infty.
Como as duas direções divergem com sinais opostos, o limite bilateral não existe.
Resposta
O limite \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^3+2x}{x^3-2x+1} não existe, pois tende a +\infty pela direita e a -\infty pela esquerda.