\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \operatorname{sec} x

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\,\operatorname{sec} x
ou seja, o limite quando x se aproxima de zero da função \frac{\operatorname{sec} x}{x}. Vamos usar continuidade de \cos x em 0 e análise de limites laterais.

Passo 2

Reescrevendo em função de \cos x, temos
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x},
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\frac{1}{x}\,\operatorname{sec} x =\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\cos x} =\frac{1}{x\,\cos x}.

Passo 3

Como \cos x é contínua em 0 e \cos0=1\neq0, segue que
\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}=1.
Portanto a expressão se comporta como
\frac{1}{x\,\cos x} \sim\frac{1}{x}\quad(x\to0).
Mas \lim_{x\to0^+}1/x=+\infty e \lim_{x\to0^-}1/x=-\infty, de modo que não existe limite finito na aproximação bilateral.

Resposta

O limite não existe (diverge, indo a +\infty pela direita e a -\infty pela esquerda).

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