\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-2}{x^{2}+x-6}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-2}{x^{2}+x-6}. Esse é um caso de limite de função racional em que o denominador se anula em x=2, enquanto o numerador não zera. Para resolver, vamos usar fatoração, verificar o comportamento junto a x=2 e aplicar o conceito de limites infinitos (vertical asymptote).

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{2}+x-6 = (x-2)(x+3).
O numerador em x=2 vale
2^{2}-2 = 4-2 = 2 \neq 0,
logo, próximo de x=2 teremos um quociente com numerador próximo de 2 e denominador próximo de zero, indicando limite infinito.

Passo 3

Para entender o sinal do limite, note que perto de x=2 podemos aproximar
\frac{x^{2}-2}{(x-2)(x+3)} \approx \frac{2}{(x-2)\cdot5},
pois x+3 em x\approx2 vale 5. Assim o sinal do quociente é dominado por \mathrm{sign}(x-2).

Passo 4

Calculamos os limites laterais: \displaystyle\lim_{x\to2^-}\frac{x^{2}-2}{x^{2}+x-6}: aqui x-2<0, numerador positivo, então o quociente tende a -\infty. \displaystyle\lim_{x\to2^+}\frac{x^{2}-2}{x^{2}+x-6}: aqui x-2>0, numerador positivo, então o quociente tende a +\infty.

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem (um vai a -\infty e o outro a +\infty), o limite de duas vias em x=2 não existe.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-2}{x^{2}+x-6} não existe, pois
\lim_{x\to2^-}\frac{x^{2}-2}{x^{2}+x-6} = -\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^+}\frac{x^{2}-2}{x^{2}+x-6} = +\infty.

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