Exemplo 3. Calcular \int_{-1}^{1} x \sqrt{1+x^{2}} d x.
Solução. Fazendo u=1+x^{2}, calculamos \int x \sqrt{1+x^{2}} d x=\frac{1}{3} \sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}}+C.
Pelo teorema fundamental do cálculo, \int_{-1}^{1} x \sqrt{1+x^{2}} d x=\left.\frac{1}{3} \sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}}\right|_{-1} ^{1}=\frac{\sqrt{8}}{3}-\frac{\sqrt{8}}{3}=0.
Por outro lado, poderíamos ter trocado os limites de integração, ao realizar a mudança de variável.
O resultado seria:
Para x=-1, u=2; e para x=1, u=2(!). Então \int_{-1}^{1} x \sqrt{1+x^{2}} d x=\int_{2}^{2} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} d u=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{-1}^{1}x\sqrt{1+x^{2}}\;dx. O conteúdo envolvido é integração por substituição e simetria de funções ímpares.

Passo 2

Observamos que f(x)=x\sqrt{1+x^{2}} é ímpar, pois
f(-x)=(-x)\sqrt{1+(-x)^{2}}=-\,x\sqrt{1+x^{2}}=-f(x).
Pela simetria,
\int_{-1}^{1}f(x)\,dx=0.

Passo 3

Para confirmar por substituição, faça
u=1+x^{2}, \quad du=2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx=\tfrac12\,du.
Então
\int x\sqrt{1+x^{2}}\,dx =\int \sqrt{u}\,\frac12\,du =\tfrac12\int u^{\tfrac12}du =\tfrac12\cdot\tfrac{2}{3}u^{\tfrac32}+C =\tfrac{1}{3}u^{\tfrac32}+C.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a primitiva é
F(x)=\tfrac{1}{3}\bigl(1+x^{2}\bigr)^{\tfrac32}.
Logo
\int_{-1}^{1}x\sqrt{1+x^{2}}\,dx =F(1)-F(-1) =\tfrac{1}{3}\,(2)^{\tfrac32}-\tfrac{1}{3}\,(2)^{\tfrac32} =0.

Passo 5

Alternativamente, na mudança de variável direta com limites:
para x=-1 e x=1 temos u=2 em ambos, e
\int_{-1}^{1}x\sqrt{1+x^{2}}\,dx =\int_{2}^{2}\sqrt{u}\,\tfrac12\,du=0.

Resposta

0

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