Exemplo 3. Calcular \int_{-1}^{1} x \sqrt{1+x^{2}} d x.
Solução. Fazendo u=1+x^{2}, calculamos \int x \sqrt{1+x^{2}} d x=\frac{1}{3} \sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}}+C.
Pelo teorema fundamental do cálculo, \int_{-1}^{1} x \sqrt{1+x^{2}} d x=\left.\frac{1}{3} \sqrt{\left(1+x^{2}\right)^{3}}\right|_{-1} ^{1}=\frac{\sqrt{8}}{3}-\frac{\sqrt{8}}{3}=0.
Por outro lado, poderíamos ter trocado os limites de integração, ao realizar a mudança de variável.
O resultado seria:
Para x=-1, u=2; e para x=1, u=2(!). Então \int_{-1}^{1} x \sqrt{1+x^{2}} d x=\int_{2}^{2} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} d u=0
Passo 1
O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{-1}^{1}x\sqrt{1+x^{2}}\;dx. O conteúdo envolvido é integração por substituição e simetria de funções ímpares.