Uma metalúrgica produz dois tipos de ligas metálicas. Cada liga é composta de proporções diferentes de Cobre, Zinco e Chumbo, os quais estão disponíveis em quantidades limitadas em estoque. Deseja-se determinar quanto produzir de cada liga metálica, de modo a maximizar a receita bruta, satisfazendo-se as seguintes composições das ligas e a disponibilidade de matéria-prima em estoque:
Matéria-prima Liga 1 Liga 2 Estoque
Cobre 50 % 30 % 3 ton
Zinco 10 % 20 % 1 ton
Chumbo 40 % 50 % 3 ton
Preço venda 3 mil 2 mil (R$ por ton)
Monte o problema de otimização

Passo 1

O enunciado trata de um problema de Programação Linear: uma metalúrgica produz duas ligas metálicas (Liga 1 e Liga 2) usando as matérias-primas Cobre, Zinco e Chumbo em estoques limitados. Cada liga tem uma composição percentual de cada metal e um preço de venda por tonelada. Queremos determinar as quantidades a produzir de cada liga de modo a maximizar a receita bruta, respeitando a disponibilidade de matéria-prima.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão como: x_{1} = quantidade (em toneladas) produzida da Liga 1 x_{2} = quantidade (em toneladas) produzida da Liga 2

Passo 3

A receita bruta (em mil reais) é dada por 3{,}0 mil por tonelada de Liga 1 e 2{,}0 mil por tonelada de Liga 2. Assim, a função objetivo é
\max z = 3\,x_{1} + 2\,x_{2}.

Passo 4

As restrições de matéria-prima vêm dos estoques disponíveis e das composições percentuais (transformadas em frações decimais):
0{,}5\,x_{1} + 0{,}3\,x_{2} \;\le\; 3
0{,}1\,x_{1} + 0{,}2\,x_{2} \;\le\; 1
0{,}4\,x_{1} + 0{,}5\,x_{2} \;\le\; 3

Passo 5

Impondo que não se pode produzir quantidades negativas:
x_{1} \ge 0,\quad x_{2} \ge 0.

Resposta

\begin{aligned} &\max && z = 3\,x_{1} + 2\,x_{2}\\\ &\text{s.a.} && 0{,}5\,x_{1} + 0{,}3\,x_{2} \le 3,\\\ & && 0{,}1\,x_{1} + 0{,}2\,x_{2} \le 1,\\\ & && 0{,}4\,x_{1} + 0{,}5\,x_{2} \le 3,\\\ & && x_{1} \ge 0,\; x_{2} \ge 0. \end{aligned}

Exercícios relacionados