Q35. Um menino faz girar uma pedra em um círculo horizontal a 1,5 \mathrm{~m} acima do solo por meio de um barbante de 1 m de comprimento. O barbante arrebenta e a pedra é lançada horizontalmente, batendo no chão a 9 m de distância. Qual era a aceleração centrípeta durante o movimento circular? R: 270 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

Vou expor claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Altura do ponto de lançamento acima do solo: 1,5\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento do barbante (que é o raio do movimento circular): 1\\ \mathrm{m}. Logo o raio é r=1\\ \mathrm{m}.
    • Distância horizontal percorrida pela pedra até o impacto: 9\\ \mathrm{m}.
  • O que é pedido:
    • Determinar a aceleração centrípeta durante o movimento circular (ou seja, a_c quando a pedra descrevia o círculo).
  • Observação adotada (comunicação necessária): para facilitar e porque é o valor usual em muitos exercícios, vou usar a aproximação g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} para a aceleração da gravidade.

Passo 2

Entender o movimento vertical (queda livre) e achar o tempo de queda.
  • Teoria rápida que vamos usar: no movimento de queda livre a partir do repouso vertical inicial, a posição vertical y em função do tempo t é dada por y=\tfrac{1}{2} g t^{2},onde
    • y é a distância vertical percorrida (no nosso caso 1,5\\ \mathrm{m}),
    • g é a aceleração da gravidade ( 10\\ \mathrm{m/s^{2}} aqui),
    • t é o tempo de queda.
  • Isolando t: t=\sqrt{\dfrac{2y}{g}}.
  • Substituindo y=1,5\\ \mathrm{m} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}: t=\sqrt{\dfrac{2\cdot 1,5}{10}}=\sqrt{\dfrac{3}{10}}=\sqrt{0,3}\approx 0,548\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Relacionar o movimento horizontal com a velocidade horizontal no instante do arremesso.
  • Teoria: na direção horizontal, durante o movimento balístico não há aceleração (ignora-se resistência do ar), então a velocidade horizontal v é constante e a distância horizontal x percorrida em tempo t é x=v\,t,onde
    • x é o alcance horizontal ( 9\\ \mathrm{m}),
    • v é a velocidade horizontal inicial (igual à velocidade tangencial da pedra no círculo no instante em que o barbante arrebenta),
    • t é o tempo de voo que já calculamos.
  • Assim, v=\dfrac{x}{t}.
  • Observação útil (atalho algébrico): para evitar calcular t e depois v, podemos obter v^{2} diretamente: v^{2}=\dfrac{x^{2}}{t^{2}}=\dfrac{x^{2}}{\tfrac{2y}{g}}=\dfrac{x^{2} g}{2y}.Essa expressão é prática porque aparece v^{2} na fórmula da aceleração centrípeta.

Passo 4

Calcular v^{2} e a aceleração centrípeta a_c.
  • Substituindo x=9\\ \mathrm{m}, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, y=1,5\\ \mathrm{m} na fórmula de v^{2}: v^{2}=\dfrac{9^{2}\cdot 10}{2\cdot 1,5}=\dfrac{81\cdot 10}{3}=\dfrac{810}{3}=270\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Teoria da aceleração centrípeta: para um movimento circular uniforme de raio r e velocidade tangencial v, a_{c}=\dfrac{v^{2}}{r},onde r é o raio do círculo.
  • Como r=1\\ \mathrm{m}, temos a_{c}=\dfrac{270}{1}=270\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Interpretação e comentário didático final (pra te animar).
  • O valor é grande porque a pedra faz uma volta com raio pequeno ( 1\\ \mathrm{m}) e precisa ter velocidade grande para percorrer 9\\ \mathrm{m} antes de cair de 1,5\\ \mathrm{m}. Numericamente, 270\\ \mathrm{m/s^{2}} corresponde a cerca de 27 vezes a gravidade ( 27g), o que mostra que forças centrípetas em movimentos circulares com pequeno raio podem ser muito grandes.
  • Dica prática para prova: sempre que tiver alcance horizontal x e altura y ao lançar horizontalmente, lembre-se do atalho v^{2}=\dfrac{x^{2} g}{2y}e depois use a_{c}=v^{2}/r. Isso economiza cálculo e evita erros de arredondamento.

Resposta

270\\ \mathrm{m/s^{2}}

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