\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+3 x+2}{x^{2}-x-2}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -1} \frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}-x-2}
que é um limite de uma função racional. Para resolver, vamos precisar verificar substituição direta, fatorar numerador e denominador e simplificar fatores comuns.

Passo 2

Aplicando substituição direta, avaliamos numerador e denominador em x=-1:
\text{num} = (-1)^{2}+3(-1)+2 = 1 - 3 + 2 = 0,
\text{den} = (-1)^{2} -(-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0.
Como dá 0/0, temos forma indeterminada e precisamos fatorar.

Passo 3

Fatoramos cada polinômio:
x^{2}+3x+2 = (x+1)(x+2),
x^{2}-x-2 = (x+1)(x-2).

Passo 4

No quociente, o fator (x+1) cancela (para x\neq -1), ficando
\frac{x^{2}+3x+2}{x^{2}-x-2} = \frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x-2)} = \frac{x+2}{x-2}.

Passo 5

Agora o limite é
\lim_{x\to -1} \frac{x+2}{x-2} = \frac{-1+2}{-1-2} = \frac{1}{-3} = -\tfrac{1}{3}.

Resposta

-\,\tfrac{1}{3}

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