Calcule as derivadas parciais de ordem 1:
z=\frac{1}{x{2}+y{2}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
z = \frac{1}{x^{2}+y^{2}}
ou seja, calcularemos \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Aqui vamos usar a regra da cadeia e a derivada de u^{-1}, que é -u^{-2}u'.

Passo 2

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, veja z=(x^{2}+y^{2})^{-1} tratando y como constante. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial x} = -1\,(x^{2}+y^{2})^{-2}\,\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}) = - (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x = -\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, agora x é constante e seguimos o mesmo raciocínio:
\frac{\partial z}{\partial y} = -1\,(x^{2}+y^{2})^{-2}\,\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}) = - (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2y = -\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

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