\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-2 x^{2}-2 x-3}{2 x^{2}-4 x-6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 3} \frac{x^{3}-2x^{2}-2x-3}{2x^{2}-4x-6}.
Este é um limite de função racional. Primeiro vamos testar a substituição direta para ver se já dá um valor finito ou uma indeterminação.

Passo 2

Substituindo x=3 no numerador e no denominador temos
\text{numerador}=3^{3}-2\cdot3^{2}-2\cdot3-3=27-18-6-3=0,
\text{denominador}=2\cdot3^{2}-4\cdot3-6=18-12-6=0.
Como ficou 0/0, temos uma forma indeterminada. Para resolver, vamos fatorar numerador e denominador e simplificar.

Passo 3

Fatorando o numerador e o denominador separados:
x^{3}-2x^{2}-2x-3 = (x-3)(x^{2}+x+1),
2x^{2}-4x-6 = 2\,(x^{2}-2x-3) = 2\,(x-3)(x+1).

Passo 4

Como x\neq3 no processo de limite, podemos cancelar o fator (x-3). A expressão simplificada fica
\frac{x^{2}+x+1}{2\,(x+1)}.
Agora basta avaliar em x=3:
\frac{3^{2}+3+1}{2\,(3+1)}=\frac{9+3+1}{2\cdot4}=\frac{13}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{8}

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