Seja T \in L\left(P_{2}(\mathbb{R})\right) definida por T(p(t))=t \cdot p^{\prime}(t)+p^{\prime \prime}(t), e sejam B=\left\{1, t, t^{2}\right\} e C=\left\{1, t, 1+t^{2}\right\}. Determine (T)_{B, C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
  • Tem-se uma transformação linear T em P_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau ≤ 2) definida por
T(p(t)) = t\cdot p'(t) + p''(t).
  • As bases pedidas são
B = \{\,1,\; t,\; t^{2}\,\}, \qquad C = \{\,1,\; t,\; 1+t^{2}\,\}.
  • O que se pede: determinar a matriz (T)_{B,C}, isto é, a matriz de T cujas colunas são as coordenadas de T aplicadas aos vetores de B, expressas na base C.

Passo 2

Explicando o procedimento que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Para achar (T)_{B,C}\) precisamos calcular \(T\) aplicado a cada vetor da base \(B\): \(T(1)\), \(T(t)\) e \(T(t^{2})\). - Depois, cada resultado \(T(b_i)\) (que é um polinômio de grau ≤ 2) deve ser escrito como combinação linear dos vetores da base \(C\). Se a base \(C\) é \(\{1,\;t,\;1+t^2\}\), então um polinômio genérico \(q(t)\) será escrito como \[q(t) = a\cdot 1 + b\cdot t + c\cdot(1+t^{2}).
  • Observação importante sobre essa escrita: ao desenvolver a soma obtemos
a\cdot 1 + b\cdot t + c\cdot(1+t^{2}) = (a+c) + b\,t + c\,t^{2}.
Portanto, para recuperar a,b,c a partir dos coeficientes do polinômio q(t)=\alpha + \beta t + \gamma t^{2} devemos resolver
\begin{cases} a + c = \alpha,\\[4pt] b = \beta,\\[4pt] c = \gamma. \end{cases}
  • As colunas da matriz (T)_{B,C}\] serão exatamente os vetores coluna \(\begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} encontrados para T(1),T(t),T(t^{2}), nessa ordem.]

Passo 3

Calcular T(1). Primeiro lembrar como derivar polinômios:
  • Para p(t)=1 temos p'(t)=0 e p''(t)=0.
    Aplicando a definição de T:
T(1) = t\cdot p'(t) + p''(t) = t\cdot 0 + 0 = 0.
Logo T(1) é o polinômio zero, que em coeficientes é \alpha=0,\\ \beta=0,\\ \gamma=0.

Passo 4

Representar T(1)=0 na base C. Usando o esquema do passo 2, queremos a,b,c tais que
(a+c) + b\,t + c\,t^{2} = 0 + 0\cdot t + 0\cdot t^{2}.
Comparando coeficientes obtemos c=0, b=0, a+c=0 a=0.
Portanto as coordenadas de T(1) na base C são
\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular T(t). Para p(t)=t temos p'(t)=1 e p''(t)=0. Assim
T(t) = t\cdot p'(t) + p''(t) = t\cdot 1 + 0 = t.
Então T(t) é o polinômio 0 + 1\cdot t + 0\cdot t^{2}, ou seja \alpha=0,\\ \beta=1,\\ \gamma=0.

Passo 6

Representar T(t) na base C. Queremos a,b,c com
(a+c) + b\,t + c\,t^{2} = 0 + 1\cdot t + 0\cdot t^{2}.
Comparando: c=0, b=1, a+c=0 a=0.
Logo as coordenadas de T(t) na base C são
\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular T(t^{2}). Para p(t)=t^{2} temos p'(t)=2t e p''(t)=2. Então
T(t^{2}) = t\cdot p'(t) + p''(t) = t\cdot (2t) + 2 = 2t^{2} + 2.
Assim T(t^{2}) é o polinômio \alpha + \beta t + \gamma t^{2} com \alpha=2,\\ \beta=0,\\ \gamma=2.

Passo 8

Representar T(t^{2}) na base C. Procuramos a,b,c tais que
(a+c) + b\,t + c\,t^{2} = 2 + 0\cdot t + 2\cdot t^{2}.
Comparando coeficientes: c=\gamma=2, b=\beta=0, a+c=\alpha=2 a=0.
Portanto as coordenadas de T(t^{2}) na base C são
\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 9

Montar a matriz (T)_{B,C}. As colunas são, na ordem dos vetores de B ( 1,\;t,\;t^{2}), as coordenadas encontradas:
  • coluna 1 = coordenadas de T(1) = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
  • coluna 2 = coordenadas de T(t) = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},
  • coluna 3 = coordenadas de T(t^{2}) = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.
Portanto a matriz é
(T)_{B,C} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Resposta

(T)_{B,C} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}]

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