Seja T \in L\left(P_{2}(\mathbb{R})\right) definida por T(p(t))=t \cdot p^{\prime}(t)+p^{\prime \prime}(t), e sejam B=\left\{1, t, t^{2}\right\} e C=\left\{1, t, 1+t^{2}\right\}. Determine (T)_{B, C}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
Tem-se uma transformação linear T em P_{2}(\mathbb{R}) (polinômios de grau ≤ 2) definida por
T(p(t)) = t\cdot p'(t) + p''(t).
As bases pedidas são
B = \{\,1,\; t,\; t^{2}\,\}, \qquad C = \{\,1,\; t,\; 1+t^{2}\,\}.
O que se pede: determinar a matriz (T)_{B,C}, isto é, a matriz de T cujas colunas são as coordenadas de T aplicadas aos vetores de B, expressas na base C.
Passo 2
Explicando o procedimento que vamos usar (passo-a-passo didático):
Para achar (T)_{B,C}\) precisamos calcular \(T\) aplicado a cada vetor da base \(B\): \(T(1)\), \(T(t)\) e \(T(t^{2})\).
- Depois, cada resultado \(T(b_i)\) (que é um polinômio de grau ≤ 2) deve ser escrito como combinação linear dos vetores da base \(C\). Se a base \(C\) é \(\{1,\;t,\;1+t^2\}\), então um polinômio genérico \(q(t)\) será escrito como
\[q(t) = a\cdot 1 + b\cdot t + c\cdot(1+t^{2}).
Observação importante sobre essa escrita: ao desenvolver a soma obtemos
Portanto, para recuperar a,b,c a partir dos coeficientes do polinômio q(t)=\alpha + \beta t + \gamma t^{2} devemos resolver
\begin{cases} a + c = \alpha,\\[4pt] b = \beta,\\[4pt] c = \gamma. \end{cases}
As colunas da matriz (T)_{B,C}\] serão exatamente os vetores coluna \(\begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} encontrados para T(1),T(t),T(t^{2}), nessa ordem.]
Passo 3
Calcular T(1). Primeiro lembrar como derivar polinômios:
Para p(t)=1 temos p'(t)=0 e p''(t)=0.
Aplicando a definição de T:
T(1) = t\cdot p'(t) + p''(t) = t\cdot 0 + 0 = 0.
Logo T(1) é o polinômio zero, que em coeficientes é \alpha=0,\\ \beta=0,\\ \gamma=0.
Passo 4
Representar T(1)=0 na base C. Usando o esquema do passo 2, queremos a,b,c tais que