\lim _{x \rightarrow 9} \frac{x^{2}-81}{\sqrt{x}-3}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to9} \frac{x^{2}-81}{\sqrt{x}-3}.
O conteúdo envolvido é limite de função com indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração e a identidade que relaciona x-9 e \sqrt{x}-3.

Passo 2

Observamos que
x^{2}-81 = (x-9)(x+9)
e, por outro lado,
x-9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3).
Logo, o numerador pode ser escrito como
(x-9)(x+9) = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)(x+9).

Passo 3

Substituindo essa expressão no quociente e cancelando o fator \sqrt{x}-3, temos
\frac{x^{2}-81}{\sqrt{x}-3} = \frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)(x+9)}{\sqrt{x}-3} = (\sqrt{x}+3)(x+9).

Passo 4

Agora o limite ficou livre de indeterminação, basta fazer x\to9. Como \sqrt{9}=3,
(\sqrt{x}+3)(x+9)\Big|_{x=9} = (3+3)\,(9+9) = 6 \cdot 18 = 108.

Resposta

108

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