Um sensor monitora a temperatura
(em graus Celsius) de um motor em uma linha de produção. A telemetria indica que, para um curto intervalo de tempo após o acionamento, a temperatura pode ser descrita pela função
, onde
é o tempo em minutos. Um engenheiro precisa garantir que a taxa de aquecimento do motor não ultrapasse um certo limite. Qual é a taxa de aquecimento instantânea, em
, no exato momento em que o motor atinge sua primeira temperatura máxima local no intervalo
?
Passo 1
O enunciado nos dá a temperatura do motor em função do tempo
e pede a taxa de aquecimento instantânea, ou seja,
, no instante em que ocorre o primeiro máximo local para
. Para isso, vamos precisar de derivadas e de teste de extremos usando segunda derivada.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira
Passo 3
Encontramos os pontos críticos resolvendo
Dividindo por 6, vem
Passo 4
Para saber qual desses é máximo local, usamos a segunda derivada
Em
:
, logo é máximo local. Em
:
, mínimo local.
Passo 5
A primeira temperatura máxima local ocorre em
. A taxa de aquecimento instantânea nesse instante é