Um sensor monitora a temperatura T (em graus Celsius) de um motor em uma linha de produção. A telemetria indica que, para um curto intervalo de tempo após o acionamento, a temperatura pode ser descrita pela função T(t)=2 t^{3}-15 t^{2}+36 t+25, onde t é o tempo em minutos. Um engenheiro precisa garantir que a taxa de aquecimento do motor não ultrapasse um certo limite. Qual é a taxa de aquecimento instantânea, em { }^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{min}, no exato momento em que o motor atinge sua primeira temperatura máxima local no intervalo t>0 ?
36^{\circ} \mathrm{C} / \min
0^{\circ} \mathrm{C} / \min
53{ }^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{min}
3^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{min}
-6^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{min}

Passo 1

O enunciado nos dá a temperatura do motor em função do tempo
T(t)=2t^{3}-15t^{2}+36t+25
e pede a taxa de aquecimento instantânea, ou seja, T'(t), no instante em que ocorre o primeiro máximo local para t>0. Para isso, vamos precisar de derivadas e de teste de extremos usando segunda derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira
T'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2t^{3}-15t^{2}+36t+25\bigr) =6t^{2}-30t+36.

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo
6t^{2}-30t+36=0.
Dividindo por 6, vem
t^{2}-5t+6=0\quad\Longrightarrow\quad t=2\text{ ou }t=3.

Passo 4

Para saber qual desses é máximo local, usamos a segunda derivada
T''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(6t^{2}-30t+36\bigr)=12t-30.
Em t=2: T''(2)=12\cdot2-30=-6<0, logo é máximo local. Em t=3: T''(3)=36-30=6>0, mínimo local.

Passo 5

A primeira temperatura máxima local ocorre em t=2. A taxa de aquecimento instantânea nesse instante é
T'(2)=6\cdot2^{2}-30\cdot2+36 =24-60+36=0.

Resposta

0{}^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{min}

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